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Transcrição de vídeo

RKA - O que nos é pedido aqui é quais são o domínio e a imagem da função seno. Vamos desenhar essa função seno aqui e ver como vai ser. O que eu tenho aqui é o seguinte: do lado esquerdo, eu tenho o círculo unitário, e eu vou usar esse círculo aqui para descobrir o valor do seno de θ (teta) para um dado ângulo θ. Aqui, eu tenho o eixo do "x", e aqui o do "y". E, aí, então, para um determinado ângulo θ qualquer, eu vou descobrir qual vai ser o seno do θ. Basta ver a coordenada do "y" para esse ângulo, o ponto onde esse ângulo encosta aqui nessa circunferência. E, aqui do lado, eu tenho um plano cartesiano (eixo do "x" e eixo do "y"). Aqui, no eixo do "y", o que eu quero fazer é a função "y = sen θ" e aqui nesse eixo horizontal... (na verdade, eu não vou nem colocar "x" porque o que eu quero aqui é o valor para o θ; então, quando eu falei "x" anteriormente, esquece)... esse eixo horizontal aqui são os valores do ângulo θ. E o que eu quero desse θ é que ele esteja em radianos. Então, basicamente, o que vou fazer aqui é pegar um montão de valores do θ e descobrir qual vai ser o seno para esses ângulos θ que eu estou determinando. Então, depois, eu já posso desenhar o gráfico da função seno de θ. Bom, para isso, eu vou colocar uma tabelinha aqui. Vamos lá, vamos fazer uma tabela. Aqui, do lado esquerdo, eu vou colocar um valor para θ, e, do lado direito da tabela, eu vou descobrir qual vai ser o valor do seno desse ângulo θ. Eu posso dar aqui uma porção de valores para o θ, e eu quero começar aqui, digamos... deixe-me ver... vamos dar um valor de θ aqui igual a zero para começar. Vamos lá. Para o θ igual a zero, esse ângulo, ele está bem aqui, né? E qual é esse ponto? Esse ponto é 1 para o "x", zero para o "y". Como o seno de θ é aqui (é a coordenada do "y"), então eu tenho que o seno de zero é igual a zero. Colocando aqui na tabela: quando o θ é igual a zero, o seno do θ é igual a zero também. Vamos, agora, dar um valor para o θ, digamos, de π/2. Estou dando valores aqui que são mais fáceis de localizar no círculo unitário. π/2 vai ser esse ângulo aqui. É ou não é? Portanto, isso aqui tudo, certo? Isso aqui vai ser seno de π/2, pois ele intercepta o eixo do "y" bem aqui. E que ponto é esse? Ora, esse ponto aqui é zero para "x", 1 para "y". Daí, a gente deduz que o seno de π/2, que vai ser a coordenada do "y" aqui, é igual a 1. Vamos continuar. A gente está percebendo aqui um determinado padrão, né? Vamos ver quanto vai ser o seno de θ para quando θ foi igual a π. O ângulo π vai ser isso aqui tudo (uma meia volta); daí, que esse ângulo aqui, que mede π, vai interceptar essa nossa circunferência unitária (o círculo unitário) aqui. E qual é a coordenada desse ponto? Ora, é -1 para o "x", zero para o "y". Como seno é a coordenada do "y", a gente tem aqui que o seno de π vai ser igual a zero. Vamos, agora, ver o seno de θ para quando o θ for igual a 3π/2. Ora, esse ângulo 3π/2 vai ser 3/4 de uma volta (vai ser isso aqui, né?) E onde que esse ângulo intercepta esse nosso círculo unitário? Bem aqui. É ou não é? Com base nisso, qual vai ser o seno de 3π/2? Esse ponto aqui é o ponto zero para "x", -1 para o "y". E, como a gente já sabe, o seno de θ vai ser o valor do "y" (a coordenada do "y"). E olha aqui: quando o θ é igual a 3π/2, o seno de θ vai ser igual, então, a -1. Beleza? Agora, vamos pegar um valor que é esse círculo inteiro (no caso, uma volta completa aqui ao redor dessa circunferência unitária), ou seja, quando θ for igual a 2π. Quando θ é igual 2π, o seno do θ, repare aqui, vai ser nesse ponto aqui de intercessão, o ponto (1, 0) novamente. Portanto, o seno vai ser igual a zero. E, aí, você percebe que esse padrão vai se repetir conforme eu for dando outras voltas ao redor dessa circunferência unitária. Conforme eu for aumentando esses ângulos aqui, eu vou tendo como retorno os mesmos senos de θ. É ou não é? Pois bem, vamos agora tentar fazer o gráfico disso daqui. Aqui, vai ser o seguinte: quando θ é zero, o seno de θ é zero também. Então, vai estar nesse ponto aqui. O outro valor que nós calculamos foi para o θ igual a π/2. Quando o θ é π/2, o seno de θ vale 1. Então, vamos colocar o π/2 por aqui assim... π/2... e isso vai ser igual a 1, o seno de θ. Vou colocar 1 nessa altura aqui. Só para a gente usar aqui a mesma escala, eu vou colocar esse limite aqui. Agora é o seguinte: quando θ vale π, o seno de θ vale quanto? Vale zero. Portanto, vamos anotar aqui, vai estar bem por aqui assim. Quando o θ é π, o seno de θ é zero; então, vai estar nessa altura aqui. Agora, quando θ é igual 3π/2, o seno de θ vale -1. -1, eu vou colocar por aqui assim; e, aí, eu vou ter essa mesma escala aqui. Aqui vai ser o limite, aqui vai ser paralelo àquele eixo horizontal do θ. Nós vamos marcar aqui: quando o θ é 3π/2, o valor do seno de θ deu -1. Então, deu bem aqui assim. E, finalmente, quando o θ é 2π, o seno de θ é zero. Então, o pontinho vai ficar bem sobre o eixo horizontal aqui. Aqui é o valor do θ igual a 2π. E o seno dele, como nós calculamos aqui (uma volta inteira), é zero. Agora, basta a gente conectar os pontos e ver qual vai ser o comportamento desse gráfico. Olha só! Isso vai dar uma curva. Vou desenhá-la aqui à mão livre. Então, vou tentar fazer o meu melhor, mas vai ficar algo assim. Tem até uma razão para esse tipo de curva na estrada ser chamada de curva sinuosa. Vem de seno. É ou não é? Então, vai ficar, mais ou menos, nesse formato aqui. Só que o gráfico, ele não para por aqui; ele continua. Eu poderia adicionar, por exemplo, aqui novamente, mais π/2 que o seno desse novo ângulo seria, novamente, igual a 1. Eu poderia marcar aqui: esse ângulo, somando π/2 e o seno dele daria igual a 1, daria aqui em cima. Se eu adicionasse mais π/2, novamente, eu iria parar bem aqui sobre o eixo horizontal. Sim ou não? E, aí, essa curva iria prosseguir dessa forma aqui, certo? Então, o valor dessa função está definido para qualquer valor real do θ; qualquer valor real que você escolha aqui para esse ângulo θ vai satisfazer essa função. É ou não é? Inclusive os valores negativos. Vamos testar alguns valores negativos agora. Nós sabemos que aqui para o eixo positivo, o gráfico se comporta dessa maneira. Vamos, agora, ver no eixo negativo. É ou não é? Se eu pegasse o ângulo aqui, digamos, -π/2 (esse ângulo aqui: π/2 negativo), esse ângulo teria esse comportamento aqui: viria até aqui e iria interceptar esse círculo unitário nesse ponto. E a coordenada do "y" aqui nesse ponto é -1; então, estaria aqui o pontinho. E, aí, como a gente vê, o gráfico iria continuar aqui da mesma forma que ele funciona lá para o eixo positivo. Está certo? Daí, a gente deduz que essa função seno de θ vai estar definida para qualquer valor real de θ, seja ele zero, seja ele positivo, seja ele negativo. Logo, está definido para qualquer valor real de θ. Dito isso, vamos voltar para a questão (o que está sendo perguntado aqui em cima): quais são o domínio e a imagem. Vamos fazer o domínio, primeiro, da função. Portanto, qual vai ser o domínio dessa função seno de θ? É só lembrar que o domínio vai ser todos os valores que eu possa jogar lá para o θ, no caso aqui, ou seja, os valores para os quais a função está definida. Isso quer dizer o quê? Que qualquer valor que eu jogue aqui, a função, ela tem que estar definida, ela tem que me retornar um valor válido. E, como nós já vimos, a gente pode colocar qualquer valor para o θ. Sim ou não? Então, eu já posso dizer aqui que o domínio da função seno de θ vai ser todos os números reais; todos os números reais, qualquer valor para o θ serve. E a imagem? Qual será a imagem dessa função? Vamos lá. Qual vai ser a imagem da função seno de θ? Só para uma questão de revisão, a imagem, ela vai ser todos os valores que essa função vai retornar. Depois que eu jogar um valor para o θ, eu vou ter o valor do seno de θ e esses valores do seno serão a minha imagem. E, aí, com base nisso, qual vai ser a imagem dessa função? Como a gente percebe aqui no gráfico, esses valores estão sempre entre 1 positivo (aqui é 1 positivo, né?) e 1 negativo, entre 1 e -1. Repare: aqui é -1. Aí, sobe, aqui dá zero; aqui dá 1. Aí, ele começa a retornar de novo até chegar no -1. Depois, sobe de novo até o 1, e vai indefinidamente dessa forma. E, então, como dá para perceber, a imagem do seno de θ vai ser sempre um número menor ou igual a 1 e, ao mesmo tempo, um número maior ou igual a -1, já que ele pega todos os valores que estão entre o 1 e o -1, incluindo o 1 e o -1. Na notação de intervalo, eu posso escrever, então, que a imagem vai ser igual a -1 até 1. Eu estou incluindo o -1 e o 1 também, por isso que estou usando aqui os colchetes em vez dos parênteses, está bom? Até o próximo vídeo.