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Pontos de interseção de y=sen(x) e y=cos(x)

Transcrição de vídeo

RKA - A pergunta aqui é: em quantos pontos os gráficos de "y = sen Θ" e "y = cos Θ" se interceptam para "0 ≤ Θ ≤ 2π"? Ou seja, o valor de Θ (teta) está entre zero e 2π. E ele pode assumir também o valor de zero (o zero está incluso; ele é menor ou igual ao Θ), e também pode assumir o valor de 2π (pois o Θ é menor ou igual a 2π). Para fazer isso, eu fiz uma pequena tabela aqui com os valores de Θ, “cos Θ” e o “sen Θ”. E, com esses dados aqui, eu espero que a gente consiga, rapidamente, com a ajuda do círculo unitário, esboçar o gráfico dessas funções: "y = sen Θ" e "y = cos Θ". E, aí, depois do esboço feito, verificar onde e quantas vezes esses gráficos vão se interceptar. Portanto, aqui no nosso círculo unitário, aqui é o eixo do "x", aqui é o eixo do "y"; e, aqui no gráfico, aqui nós vamos ter o eixo do "y", e, aqui, esse eixo horizontal vai ser o eixo dos valores do Θ. Primeiramente, vamos ver aqui o que esse ângulo zero nos diz aqui no círculo unitário; ele está bem aqui nesse ponto. Sim ou não? Quais são as coordenadas desse ponto aqui? Ora, 1 para a "x", zero para "y". Daí, com base nisso aqui (nessa informação nesse ponto das coordenadas), qual vai ser o valor do “cos Θ” quando o Θ é zero, e do “sen Θ” quando o Θ é zero? Ora, como dá para ver, o “cos Θ” é a coordenada no "x", então, vai ser igual a 1; e o “sen Θ” (coordenada no "y") vai ser igual a zero. Continuando... e o π/2 agora? O π/2 vai ser 1/4 de volta, vai estar aqui, né? E, aí, quais são as coordenadas desse ponto aqui? Ora, nesse caso aqui, o "x" é zero e o "y" é igual a 1. Com base nisso, quais serão o “cos Θ” e o “sen Θ” quando o Θ é π/2? Ora, o “cos Θ” é a coordenada do "x", portanto é zero; e o “sen Θ”, a coordenada do "y", é igual a 1. E, agora, é a vez do ângulo π. Então, vai ser meia volta aqui no nosso círculo unitário. Sim ou não? Então, vai estar nesse pontinho aqui, né? Quais são as coordenadas desse ponto? Ora, essa coordenada aqui é -1 para o "x", zero para o "y". Sim ou não? Logo, o “cos Θ”, para quando Θ for igual a π, vai ser igual a -1; e o “sen Θ”, para quando Θ é igual a π, vai ser zero (coordenada do "y"). Sim ou não? Seguindo adiante... agora, o nosso ângulo Θ vai ser 3π/2. Portanto, vai ser isso aqui, né? 3/4 de volta, que nos dará esse ponto aqui. Quais são as coordenadas desse ponto? Ora, o "x" é zero, né? E o "y"? O "y" vai ser -1. Logo, podemos completar a tabela aqui com “cos Θ”, quando Θ for 3π/2, vai ser zero (que é a coordenada do "x"); e o “sen Θ”, para quando Θ for 3π/2, vai ser igual a -1, que é a coordenada do "y", beleza? E, agora, finalmente, o ângulo 2π. O ângulo do 2π é uma volta completa ao redor desse círculo unitário. É ou não é? E, portanto, ele vai nos dar esse mesmo ponto aqui de coordenadas: 1 para o "x", zero para o "y". Logo, o “cos Θ”, quando o Θ vale 2π (ou seja, o cosseno de 2π), vai ser igual a 1; e o seno de 2π (está aqui, é a coordenada do "y") vai ser igual a zero. Como dá para perceber, as coordenadas do ângulo 2π e do ângulo zero radiano (2π radianos; zero radiano) serão iguais: (1, 0). Portanto, cosseno de zero radiano é 1; cosseno de 2π radianos é 1; seno de zero radiano é zero; e o seno de 2π radianos também é zero. E, com essa tabela aqui completa dessa maneira, eu já posso ter uma ideia de como será o gráfico; eu posso fazer o esboço desse gráfico. Vou marcar os pontos (1, -1); eles serão nossos limites aqui. E, primeiramente, eu vou marcar agora os pontos para o “cos Θ”. Quando o “cos Θ” é zero... quando Θ é zero... o cosseno de zero vai ser igual a 1. Então, vai estar aqui o ponto. Cosseno de π/2 é zero; então, o ponto vai estar aqui. Cosseno de π é -1; o ponto vai estar aqui. Cosseno de 3π/2 dá zero; vai estar aqui. E o cosseno de 2π vai dar 1; vai voltar aqui para cima. E, aí, o gráfico vai se parecer com isso aqui. Vou fazer o meu melhor para desenhar bonitinho aqui o gráfico; essa curva vai se parecer com isso aqui. Essa curva, no caso, não vai passar desse ponto aqui, pois o nosso intervalo vai do zero até o 2π. Portanto, esse gráfico aqui em azul é o gráfico de "y = cos Θ". Vamos fazer, agora, a mesma coisa para o “sen Θ”. Quando Θ é igual a zero, o “sen Θ” é zero também. O seno de π/2 é 1; então, ele vai estar aqui em cima. O seno de π é zero; vai estar aqui. O seno de 3π/2 é -1; vai estar aqui assim. E, para finalizar, o seno de 2π é zero; vai estar aqui. Portanto, esse gráfico do seno, mais ou menos, é essa curva aqui, certo? Até aqui, novamente, por causa do nosso intervalo, que só vai do zero até o 2π. Voltando aqui à pergunta que ele nos faz: em quantos pontos os gráficos de "y = sen Θ" e "y = cos Θ" se interceptam para o Θ entre zero e 2π, incluindo esses dois ângulos? Como dá para perceber, olhando para o gráfico, tem dois pontos de interseção nesse intervalo entre zero e 2π: esse ponto aqui e esse ponto aqui. É ou não é? Como esses dois gráficos são cíclicos, eles vão continuar se interceptando, mas... mas, nesse domínio que nós definimos aqui, eles vão se interceptar nesses dois pontos. Ora, como parece, esses pontos aqui estão, mais ou menos, no meio do caminho entre zero e π/2; e, aqui, nesse caso, entre π e 3π/2. É ou não é? Para a gente ter certeza disso, vamos olhar aqui para o círculo unitário, pois aqui realmente parece que é o π/4, né? Vamos olhar aqui para o círculo unitário e ver quais são os valores para o π/4, que vai ser esse ângulo aqui, certo? Esse é o ângulo π/4. Ora, o ângulo π/4, em graus, é a mesma coisa que 45 graus. Então, vou determinar aqui quanto vai ser o cosseno de π/4 e o seno de π/4. Vamos determinar, agora, quais serão as coordenadas desse ponto aqui. Para isso, eu vou fazer um triângulo retângulo. Para facilitar os nossos cálculos, eu vou desenhar esse triângulo retângulo aqui. Ele é um triângulo retângulo familiar já que ele tem um ângulo de 45 graus; aqui, está o ângulo reto. Quer dizer, nesse caso, não só um ângulo de 45; são dois ângulos de 45 graus e o ângulo de 90. Portanto, nós sabemos que esse ângulo é de 45. E qual vai ser a medida da hipotenusa? Como esse é um círculo unitário, a hipotenusa vai ser igual a 1; e esse ângulo aqui, como eu acabei de falar, também é um ângulo de 45 graus. Todo mundo sabe que esses 3 ângulos aqui têm que somar 180. Então, "45 + 45", 90... mais 90, 180, certo? E, se esses dois ângulos aqui são congruentes (têm a mesma medida), então, esse lado aqui tem a mesma medida desse. Ora, como eu sei disso, eu posso chamar esse lado de "a" e esse aqui também de "a"; e, pelo teorema de Pitágoras, descobrir quanto mede "a". Ora, pelo teorema de Pitágoras, “a² + a²” é igual ao quadrado da hipotenusa, que vai ser igual a 1. Então, aqui eu tenho "2a² = 1". Logo, o "a² = 1/2". Tirando a raiz quadrada dos dois lados, eu tenho que o "a" vai ser igual a 1 sobre a raiz de 2; e eu ainda posso racionalizar esse resultado. Como eu faço isso? Multiplicando em cima e embaixo por raiz de 2. E, aí, o denominador vai deixar de ter um radical. E, portanto, o valor do "a" vai ser igual: no numerador, à raiz de 2; e, no denominador, a 2. Então, esse lado aqui vai ser raiz de 2 sobre 2; e esse outro lado aqui também (a mesma coisa). Então, esse lado aqui é raiz de 2 sobre 2; e essa altura aqui, a mesma coisa, raiz de 2 sobre 2. Ora, com base nisso, quais serão as coordenadas desse ponto (desse ponto aqui)? Ora, no "x" vai do zero até o raiz de 2 sobre 2 (portanto, raiz de 2 sobre 2 positivo); e, no "y", a mesma coisa. Olha aqui! Ela vai para o raiz de 2 sobre 2 aqui na parte de cima. Portanto, raiz de 2 sobre 2. E, como a gente sabe, o “cos Θ” é a coordenada do "x"; então, raiz de 2 sobre 2. E o “sen Θ” vai ser a coordenada do "y", que também é a raiz de 2 sobre 2. Daí, você percebe, imediatamente, que esse ponto aqui, de fato, é o ponto raiz de 2 sobre 2, tanto para o seno quanto para o cosseno. Agora, eu quero saber esse ponto aqui, que me parece estar bem no meio entre o π e o 3π/2. É ou não é? Ora, aqui no círculo unitário, vai ser esse ângulo aqui, certo? E, então, esse ângulo aqui, como dá para perceber, vai ser "(π/4) + π". Então, vamos lá! "(π/4) + π". Ora, π é a mesma coisa que 4π/4. É ou não é? Então, esse ângulo vai ser o ângulo 5π/4, que é o que eu acho que vai ser o resultado aqui (5π/4). Vamos ver. Quando eu descobrir, eu vou colocar o resultado bem aqui, 5π/4. E, aí, qual será o cosseno de 5π/4 e o seno de 5π/4? Ora, aqui eu poderia usar um pouquinho de geometria, né? Eu sei que esse ângulo aqui vai ser 45 graus porque ele é oposto pelo vértice a esse ângulo aqui que também é de 45 graus. E, aí, nós poderíamos fazer a mesma coisa: desenhar um triângulo retângulo aqui; a gente sabe que a hipotenusa dele é 1, sabemos que esse ângulo aqui é um ângulo reto. É ou não é? E, se aqui é 45 e aqui é 90, aqui vai ser 45 também. E, nesse caso, nós vamos ter dois triângulos congruentes. Com essas informações, já que os triângulos são congruentes, aqui tem que ser raiz de 2 sobre 2 (o valor desse lado aqui), e desse lado aqui também raiz de 2 sobre 2. Então, com base nisso, qual vai ser a coordenada desse ponto? Ora, a coordenada do "x" vai ser raiz de 2 sobre 2, só que na parte negativa. É ou não é? Então, menos raiz de 2 sobre 2. E o "y", a mesma coisa. Olha aqui! Está para baixo. Então, vai ser menos raiz de 2 sobre 2 também. Repare que aqui no "x" está à esquerda da origem; e, no "y", está abaixo da origem. Portanto, são negativos. Portanto, “cos Θ”, quando Θ é 5π/4, vai ser menos raiz de 2 sobre 2; e o seno desse Θ vai ser menos raiz de 2 sobre 2. E, aí, a gente vê que, de fato, esse ponto aqui, tanto para o seno quanto para o cosseno, são pontos iguais. Logo, aqui eu vou ter menos raiz de 2 sobre 2, beleza? Então, vemos-nos no próximo vídeo.