Resolução de equações do segundo grau: raízes complexas

RKA - Pediram para a gente resolver "2x² + 5 = 6x". Aqui, tem uma equação quadrática, mas para escrever num formato que conhecemos, vamos tentar passar para o formato padrão. E o formato padrão, logicamente, é o formato "ax² + bx + c = 0". E, para fazer isso, basicamente, pegamos "6x" e tiramos do lado direito (a gente tem "0" do lado direito). E, para fazer isso, [é] só subtrair "6x" dos dois lados da equação. Então, o lado esquerdo fica "2x² - 6x + 5" é igual a... e do nosso lado direito, estes se cancelam e agora tem "0". E tem várias formas de solucionar. Agora, dá para tentar fatorar. E, se eu estivesse tentando fatorar, dividiria os dois lados por 2. Se eu dividir os dois lados por 2, tenho coeficientes de números inteiros no "x²" e no termo de "x", mas teria 5/2 na constante, então, não é algo tão fácil de fatorar. Poderia completar o quadrado ou aplicar a fórmula de Bhaskara, então vamos fazer neste caso. E a fórmula de Bhaskara diz que, se tem uma equação escrita nessa forma padrão, que as raízes são dadas pela expressão "-b" mais ou menos (isso dá duas raízes aqui: mais ou menos) raiz quadrada de "b² - 4ac" sobre "2a". Vamos aplicar isto aqui. "-b", aqui é "b", "-b" é "-(-6)", então vai ser +6... mais ou menos a raiz quadrada de "b²"... "-6²" é 36... menos 4 vezes "a", que é 2 (vezes 2), vezes "c", que é 5 (vezes 5), tudo isso sobre "2‧(a)". "a" é 2. 2 vezes 2 é 4. Então, será igual a 6 mais ou menos a raiz quadrada de 36... então, vou resolver isso aqui... 36 menos... é "4‧(2)‧(5), isso aqui é 40... "36 - 40", e você pode pensar no que vai acontecer aqui. Tudo sobre 4. Ou é igual a 6 mais ou menos a raiz quadrada de -4... e você pode dizer: "espere aí! -4, se eu tirar a raiz quadrada, vou ter um número imaginário". E estaria certo. As únicas duas raízes desta equação quadrática vão acabar sendo complexas, porque, quando calculamos isso, teremos um número imaginário. Daí, a gente vai ter números complexos quando pegamos a versão positiva e a negativa desta raiz. Vamos lá! A raiz quadrada de -4 é igual a "2i". A gente sabe que isso é igual a "2i" ou pode pensar dessa forma: raiz quadrada de -4 é igual à raiz quadrada de -1 vezes a raiz quadrada de 4, que é igual à raiz quadrada de "(-1)‧(4)". Eu poderia até fazer em um passo que é igual à raiz de -1 vezes a raiz de 4, que é igual à raiz quadrada de -1 vezes a raiz quadrada de 4, e a raiz de -1 é "i" vezes a raiz quadrada de 4, que é 2. Isso é "2i" ou "(i)‧(2)". Isso aqui será ''2i''. Tem "x = (6 ± 2i)/4". E, se simplificar, dá para dividir o numerador e o denominador por 2; então, seria igual a "(3 ± i)/2" Ou, se quiser escrever como dois números complexos distintos, pode escrever como "(3 + i)/2" ou "(3/2) + (1i/2)", isso se eu pegar o valor positivo. Ou podemos encarar como "(3/2) - (1i/2)". Esses dois caras são equivalentes, essas são as duas raízes. Agora, o que eu quero fazer é verificar que funciona, verificar essas duas raízes. Posso reescrever esta como "(3 + i)/2", são equivalentes; dá para ver que isto é só a divisão dos dois por 2, ou, se fatorasse o 1/2, ficaria igual a esta expressão. Esta aqui será "(3 - i)/2" ou pode partir diretamente daqui, que é "(3 ± i)/2". "(3 + i)/2" ou "(3 - i)/2" , todas são representações iguais das duas raízes. Mas vamos ver se funcionam. Primeiro, eu vou tentar com esse número aqui. A conta vai ficar um pouco grande porque vamos ter que elevar tudo ao quadrado, mas vamos ver se conseguimos fazer. Vamos pegar 2 vezes esta quantidade ao quadrado, "2‧((3 + i)/2)² + 5", e verificar que é igual a 6 vezes esta quantidade, que "6‧((3 + i)/2)". Quanto é (3 + i)²? Isso é 2 vezes... vou elevar ao quadrado "3 + i" vai ser 3², que é 9, mais 2 vezes o produto de "3i" (3 vezes "i" é "3i", vezes 2 é "6i") mais "6i"... (e, se não faz sentido, peço que multiplique com a propriedade distributiva ou use o método de multiplicação de binômios e terá o termo médio. Você terá "3i" duas vezes; quando soma, tem "6i")... mais "i², e "i²" é "-1", tudo sobre 4, mais 5 é igual a... se dividir o numerador e o denominador por 2, terá 3 e 1 aqui, e "3‧(3 + i)" é igual a "9 + 3i". E o que tem aqui dá para simplificar só para termos um pouco mais de espaço. "9 - 1" é 8. Se eu eliminar, é só "8 + 6i". Dá para dividir o numerador e o denominador por 2. O numerador ficaria "4 + 3i" se dividir por 2, e o denominador vai ser 2. Esse e esse se cancelam. Do lado esquerdo tem "4 + 3i + 5", e tem que ser igual a "9 + 3i", Bom, dá para ver que tem "3i" dos dois lados dessa equação, e tem "4 + 5", que é exatamente igual a 9. Esta solução, "3 + i", com certeza, funciona. Agora, vamos verificar "3 - i". Mais uma vez, só de olhar para a equação original "2x² + 5 = 6x", vou escrever, vou reescrever a equação original. "2x² + 5 = 6x". Agora, vamos verificar esta raiz, vamos ver se funciona. Tem "2‧((3 - i)/2)² + 5" tem que ser igual a 6 vezes isso aqui, "6‧((3 - i)/2)". Mais uma vez, é um pouco grande a conta, mas contanto que a gente faça tudo é possível que a gente chegue ao resultado correto. "(3 - i)²". "(3 - i)‧(3 - i)", que é... (e pode praticar tirando as raízes quadradas de duas expressões com termos ou números complexos)... vai ser 9. Isso é 3². E "(-3)‧(i)" é "-3i". E vai ter dois desses. Então, "-6i'. "(-i)²" também é -1. E isso é "(-1)‧(-1)‧(i)‧(i)". Então, também é -1. "(-i)²" também é igual a -1. Agora, teremos -1, porque é "(-i)²", que é -1, e tudo isso sobre 4; tudo isso sobre... é 2², que é 4, vezes 2 mais 5 tem que ser igual a... antes de multiplicar, a gente poderia dividir o numerador e o denominador por 2... 6 dividido por 3... 2 dividido por 2 é 1... 3 vezes 3 é 9... 3 vezes "-i" é "-3i''. E, se simplificar um pouco mais, "9 -1" será... vou fazer em azul... "9 - 1" será 8. Tem ''8 - 6i". E, se dividir "8 - 6i" por 2, e 4 por 2 no numerador, teremos "4 - 3i". No numerador, a gente vai ter 2, dividimos o numerador e o denominador por 2, tem 2 aqui e tem 2 no denominador. Esses dois se cancelam. Então, essa expressão se cancela ou se simplifica para "4 - 3i"... tem +5... tem que ser igual a "9 - 3i". Tem "-3i" do lado esquerdo e "-3i" do lado direito. Tem "4 + 5". Podemos verificar. Esse lado esquerdo é "9 - 3i", que é exatamente o mesmo número complexo que tem do lado direito, "9 - 3i". Então, também está correto, também é uma raiz. E verificamos que as duas raízes complexas satisfazem a equação quadrática. Fui.