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Álgebra intermediária (parte 2)
Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 2
Lição 6: Equações do segundo grau com soluções complexasResolução de equações do segundo grau: raízes complexas
Neste vídeo, resolvemos a equação 2x^2+5=6x usando a fórmula de Bhaskara e descobrimos que as soluções são números complexos. Criado por Sal Khan e Instituto de Tecnologia e Educação de Monterey.
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- a equação matricial [-2 1 0 1 1 -2 1 0 1]. [x y z ]- [3 -2 1] e verdadeira se x,y e z são tais que x+y+z é igual a ?(2 votos)
- Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma: a x² + b x + c = 0, onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. *
Os coeficientes da equação x² -3x +7 = 0, respectivamente é(2 votos)- A= 1
B=-3
C=7
O respectivamente é isso(2 votos)
- Ta dificil ai os produtos notaveis ?(1 voto)
- X2+3x-10=0 Calcule a raiz dessa equação(1 voto)
- x²+3x-10=0 (=) -10 : 5 * -2
x²+5x-2x-10 = 0 (=)
(x²-5x)(-2x-10) = 0 (=)
x (x+5) -2(x+5) = 0 (=)
(x-2)(x+5) = 0 (=)
x-2=0 , x+5=0 (=)
x=2 , x= -5
Logo 2 e -5 são as raízes da equação quadrática!(1 voto)
- resolva a equaçâo 3x-1=81(1 voto)
- Como resolveresultado essa questão 2elevado a 2x=5.2x+4=0(1 voto)
- Quero saber como se calcula essas funções.s(t)=7-21t,para t=1/3(1 voto)
- Se a função depende apenas de t, o cálculo de s(1/3) é dado substituindo t por 1/3 e ir desenvolvendo isso. O mesmo vale para funções de duas entradas, f(x,y)=x+y. Só que ao invés de escolher apenas um valor, é preciso escolher dois, (x,y). Ou seja, seu domínio é o R² e o contradomínio R pois retorna um valor real sem nenhuma restrição.
Calculando f(x,y)=x+y para o ponto (2,7)
f(2,7)=2+7=9. .:f(2,7)=9
Ah e seu gráfico não é mais uma coisa bidimensional e sim algo no espaço pois a relação é de R²->R. Antes era de R->R, ou um subconjunto de R em R(1 voto)
- 2x^2 + X - 1 = 0 determinar a raiz da da equação?(1 voto)
- A raiz da equação são os valores que x pode assumir de modo a igualar 0.
Para descobrir pode-se usar a fórmula resolvente ou fatorar. Fatorar é a melhor maneira, pois não é preciso decorar a fórmula e é mais rápido!
2x²+x-1 = 0 fatorado no produto de dois binómios é:
(2x-1)(x+1) = 0
Depois é igualar ambos os binómios a zero:
2x-1=0 , x+1=0
Que ao resolver nos dará:
x=1/2 e x= -1
Sendo assim, as raízes da equação são 1/2 (um meio) e -1 (1 negativo).(2 votos)
- Quando o valor A B e C dão negativos como q resolvo a equação de segundo grau??(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA - Pediram para a gente resolver
"2x² + 5 = 6x". Aqui, tem uma equação quadrática, mas
para escrever num formato que conhecemos, vamos tentar passar
para o formato padrão. E o formato padrão, logicamente,
é o formato "ax² + bx + c = 0". E, para fazer isso, basicamente,
pegamos "6x" e tiramos do lado direito (a gente tem "0" do lado direito).
E, para fazer isso, [é] só subtrair "6x" dos
dois lados da equação. Então, o lado esquerdo
fica "2x² - 6x + 5" é igual a... e do nosso lado direito,
estes se cancelam e agora tem "0". E tem várias formas de solucionar.
Agora, dá para tentar fatorar. E, se eu estivesse tentando fatorar,
dividiria os dois lados por 2. Se eu dividir os dois lados por 2,
tenho coeficientes de números inteiros no "x²" e no termo de "x", mas teria 5/2 na constante,
então, não é algo tão fácil de fatorar. Poderia completar o quadrado ou aplicar a fórmula
de Bhaskara, então vamos fazer neste caso. E a fórmula de Bhaskara diz que,
se tem uma equação escrita nessa forma padrão, que as
raízes são dadas pela expressão "-b" mais ou menos (isso dá duas raízes aqui: mais
ou menos) raiz quadrada de "b² - 4ac" sobre "2a". Vamos aplicar isto aqui. "-b", aqui é "b", "-b" é "-(-6)",
então vai ser +6... mais ou menos a raiz quadrada de "b²"...
"-6²" é 36... menos 4 vezes "a", que é 2 (vezes 2), vezes "c",
que é 5 (vezes 5), tudo isso sobre "2‧(a)". "a" é 2.
2 vezes 2 é 4. Então, será igual a 6 mais ou
menos a raiz quadrada de 36... então, vou resolver isso aqui... 36 menos... é "4‧(2)‧(5),
isso aqui é 40... "36 - 40", e você pode pensar
no que vai acontecer aqui. Tudo sobre 4. Ou é igual a 6 mais ou
menos a raiz quadrada de -4... e você pode dizer: "espere aí! -4, se eu tirar a raiz quadrada, vou ter
um número imaginário". E estaria certo. As únicas duas raízes desta equação quadrática
vão acabar sendo complexas, porque, quando calculamos isso,
teremos um número imaginário. Daí, a gente vai ter números complexos quando pegamos a versão positiva e a negativa desta raiz. Vamos lá! A raiz quadrada de -4 é igual a "2i". A gente sabe que isso é igual a "2i"
ou pode pensar dessa forma: raiz quadrada de -4 é igual à raiz quadrada de -1
vezes a raiz quadrada de 4, que é igual à raiz quadrada de "(-1)‧(4)". Eu poderia até fazer em um passo
que é igual à raiz de -1 vezes a raiz de 4, que é igual à raiz quadrada de -1 vezes a raiz quadrada de 4, e a raiz de -1 é "i" vezes a raiz quadrada de 4, que é 2. Isso é "2i" ou "(i)‧(2)".
Isso aqui será ''2i''. Tem "x = (6 ± 2i)/4". E, se simplificar, dá para dividir o
numerador e o denominador por 2; então, seria igual a "(3 ± i)/2" Ou, se quiser escrever como dois números
complexos distintos, pode escrever como "(3 + i)/2" ou "(3/2) + (1i/2)",
isso se eu pegar o valor positivo. Ou podemos encarar como
"(3/2) - (1i/2)". Esses dois caras são equivalentes,
essas são as duas raízes. Agora, o que eu quero fazer é verificar
que funciona, verificar essas duas raízes. Posso reescrever esta como
"(3 + i)/2", são equivalentes; dá para ver que isto é só
a divisão dos dois por 2, ou, se fatorasse o 1/2,
ficaria igual a esta expressão. Esta aqui será "(3 - i)/2" ou pode partir
diretamente daqui, que é "(3 ± i)/2". "(3 + i)/2" ou "(3 - i)/2" , todas são representações
iguais das duas raízes. Mas vamos ver se funcionam. Primeiro, eu vou tentar
com esse número aqui. A conta vai ficar um pouco grande porque
vamos ter que elevar tudo ao quadrado, mas vamos ver se conseguimos fazer. Vamos pegar 2 vezes esta quantidade ao quadrado,
"2‧((3 + i)/2)² + 5", e verificar que é igual a 6 vezes esta quantidade,
que "6‧((3 + i)/2)". Quanto é (3 + i)²? Isso é 2 vezes... vou elevar ao quadrado
"3 + i" vai ser 3², que é 9, mais 2 vezes o produto de "3i"
(3 vezes "i" é "3i", vezes 2 é "6i") mais "6i"... (e, se não faz sentido, peço que
multiplique com a propriedade distributiva ou use o método de multiplicação
de binômios e terá o termo médio. Você terá "3i" duas vezes;
quando soma, tem "6i")... mais "i², e
"i²" é "-1", tudo sobre 4,
mais 5 é igual a... se dividir o numerador e o denominador por 2,
terá 3 e 1 aqui, e "3‧(3 + i)" é igual a "9 + 3i". E o que tem aqui dá para simplificar só
para termos um pouco mais de espaço. "9 - 1" é 8. Se eu eliminar, é só "8 + 6i". Dá para
dividir o numerador e o denominador por 2. O numerador ficaria "4 + 3i" se dividir por 2, e o denominador vai ser 2. Esse e esse se cancelam. Do lado esquerdo tem "4 + 3i + 5",
e tem que ser igual a "9 + 3i", Bom, dá para ver que tem "3i" dos dois lados dessa equação, e tem "4 + 5", que é exatamente igual a 9. Esta solução, "3 + i",
com certeza, funciona. Agora, vamos verificar "3 - i". Mais uma vez, só de olhar para a equação original
"2x² + 5 = 6x", vou escrever, vou reescrever a equação original. "2x² + 5 = 6x". Agora, vamos verificar
esta raiz, vamos ver se funciona. Tem "2‧((3 - i)/2)² + 5" tem que ser
igual a 6 vezes isso aqui, "6‧((3 - i)/2)". Mais uma vez, é um pouco grande a conta,
mas contanto que a gente faça tudo é possível que a gente
chegue ao resultado correto. "(3 - i)²". "(3 - i)‧(3 - i)", que é... (e pode praticar tirando as raízes quadradas de duas expressões com termos ou números complexos)... vai ser 9. Isso é 3².
E "(-3)‧(i)" é "-3i". E vai ter dois desses.
Então, "-6i'. "(-i)²" também é -1.
E isso é "(-1)‧(-1)‧(i)‧(i)". Então, também é -1.
"(-i)²" também é igual a -1. Agora, teremos -1, porque é "(-i)²",
que é -1, e tudo isso sobre 4; tudo isso sobre... é 2², que é 4,
vezes 2 mais 5 tem que ser igual a... antes de multiplicar, a gente poderia dividir
o numerador e o denominador por 2... 6 dividido por 3...
2 dividido por 2 é 1... 3 vezes 3 é 9... 3 vezes "-i" é "-3i''. E, se simplificar um pouco mais,
"9 -1" será... vou fazer em azul... "9 - 1" será 8. Tem ''8 - 6i". E, se dividir "8 - 6i" por 2,
e 4 por 2 no numerador, teremos "4 - 3i". No numerador, a gente vai ter 2, dividimos o numerador
e o denominador por 2, tem 2 aqui
e tem 2 no denominador. Esses dois se cancelam. Então, essa expressão se cancela
ou se simplifica para "4 - 3i"... tem +5... tem que ser igual a "9 - 3i". Tem "-3i" do lado esquerdo
e "-3i" do lado direito. Tem "4 + 5".
Podemos verificar. Esse lado esquerdo é "9 - 3i", que é
exatamente o mesmo número complexo que tem do lado direito, "9 - 3i". Então, também está correto,
também é uma raiz. E verificamos que as duas raízes
complexas satisfazem a equação quadrática. Fui.