If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Álgebra intermediária (parte 2)

Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 2

Lição 5: Multiplicação de números complexos
Matemática
Álgebra intermediária (parte 2)
Números complexos
Multiplicação de números complexos
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies

Multiplicação de números complexos

Google Sala de Aula
Aprenda a multiplicar dois números complexos. Por exemplo, multiplique (1+2i)⋅(3+i).
Um número complexo é qualquer número que pode ser escrito como start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, sendo i a unidade imaginária e start color #1fab54, a, end color #1fab54 e start color #11accd, b, end color #11accd os números reais.
Quando multiplicamos números complexos, é importante lembrar que as propriedades que usamos quando fazemos cálculos aritméticos com números reais funcionam de forma semelhante para números complexos.
Às vezes, pensar em i como uma variável, como x, é útil. Então, com apenas alguns ajustes no final, podemos multiplicar como esperávamos. Vamos analisar isso de perto por meio de vários exemplos.

Multiplicação de um número real por um número complexo

Exemplo

Multiplique minus, 4, left parenthesis, 13, plus, 5, i, right parenthesis. Escreva o número resultante na forma a, plus, b, i.

Solução

Se seu instinto lhe diz para distribuir o minus, 4, ele está certo! Vamos fazer isso!
−4(13+5i)=−4(13)+(−4)(5i)=−52−20i\begin{aligned}\tealD{-4}(13+5i)&=\tealD{-4}(13)+\tealD{(-4)}(5i)\\ \\ &=-52-20i \end{aligned}
É isso! Usamos a propriedade distributiva para multiplicar um número real por um número complexo. Vamos tentar algo um pouco mais complicado.

Multiplicação de um número imaginário puro por um número complexo

Exemplo

Multiplique 2, i, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis. Escreva o número resultante na forma a, plus, b, i.

Solução

Novamente, vamos começar distribuindo 2, i para cada termo entre parênteses.
2i(3−8i)=2i(3)−2i(8i)=6i−16i2\begin{aligned}\tealD{2i}(3-8i)&=\tealD{2i}(3)-\tealD{2i}(8i)\\ \\ &=6i-16i^2 \end{aligned}
Nesse ponto, a reposta não está na forma a, plus, b, i, porque ela contém i, squared.
Contudo, sabemos que start color #e07d10, i, squared, equals, minus, 1, end color #e07d10. Vamos substituir e ver onde isso nos leva.
2i(3−8i)=6i−16i2=6i−16(−1)=6i+16\begin{aligned}\phantom{\tealD{2i}(3-8i)} &=6i-16\goldD{i^2}\\ \\ &=6i-16(\goldD{-1})\\ \\ &=6i+16\\ \end{aligned}
Usando a propriedade cumulativa, podemos escrever a resposta como 16, plus, 6, i, e então temos que 2, i, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis, equals, 16, plus, 6, i.

Teste seu conhecimento

Problema 1

Multiplique 3, left parenthesis, minus, 2, plus, 10, i, right parenthesis.
Escreva sua resposta na forma a, plus, b, i.

Problema 2

Multiplique minus, 6, i, left parenthesis, 5, plus, 7, i, right parenthesis.
Escreva sua resposta na forma a, plus, b, i.

Excelente! Agora estamos prontos para avançar ainda mais! O que temos a seguir é o caso mais típico que você vai ver quando o assunto é a multiplicação de números complexos.

Multiplicação de dois números complexos

Exemplo

Multiplique left parenthesis, 1, plus, 4, i, right parenthesis, left parenthesis, 5, plus, i, right parenthesis. Escreva o número resultante na forma a, plus, b, i.

Solução

Nesse exemplo, alguns acham útil pensar em i como uma variável.
De fato, o processo de multiplicação desses dois números complexos é muito semelhante ao de multiplicação de dois binômios! Multiplique cada termo do primeiro número por cada termo do segundo número.
(1+4i)(5+i)=(1)(5)+(1)(i)+(4i)(5)+(4i)(i)=5+i+20i+4i2=5+21i+4i2\begin{aligned}(\tealD{1}+\maroonD{4i}) (5+i)&=(\tealD{1})(5)+(\tealD{1})(i)+(\maroonD{4i})(5)+(\maroonD{4i})(i)\\ \\ &=5+i+20i+4i^2\\ \\ &=5+21i+4i^2 \end{aligned}
Como start color #e07d10, i, squared, equals, minus, 1, end color #e07d10, podemos substituir i, squared por minus, 1 para obter a forma a, plus, b, i desejada.
(1−5i)(−6+i)=5+21i+4i2=5+21i+4(−1)=5+21i−4=1+21i\begin{aligned}\phantom{(\tealD{1}\maroonD{-5}i) (-6+i)} &=5+21i+4\goldD{i^2}\\ \\ &=5+21i+4(\goldD{-1})\\ \\ &=5+21i-4\\ \\ &=1+21i \end{aligned}

Teste seu conhecimento

Problema 3

Multiplique left parenthesis, 1, plus, 2, i, right parenthesis, left parenthesis, 3, plus, i, right parenthesis.
Escreva sua resposta na forma a, plus, b, i.

Problema 4

Multiplique left parenthesis, 4, plus, i, right parenthesis, left parenthesis, 7, minus, 3, i, right parenthesis.
Escreva sua resposta na forma a, plus, b, i.

Problema 5

Multiplique left parenthesis, 2, minus, i, right parenthesis, left parenthesis, 2, plus, i, right parenthesis.
Escreva sua resposta na forma a, plus, b, i.

Problema 6

Multiplique left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis.
Escreva sua resposta na forma a, plus, b, i.

Desafios

Problema 1

Sejam a e b números reais. O que é left parenthesis, a, minus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis?

Problema 2

Realize a operação indicada e simplifique. left parenthesis, 1, plus, 3, i, right parenthesis, squared, dot, left parenthesis, 2, plus, i, right parenthesis
Escreva suas respostas na forma a, plus, b, i.

Quer participar da conversa?

Entrar
  • Avatar starky sapling style do usuário Adriano Correia
    Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “Não entendi a distributiv...” de Adriano Correia
    Não entendi a distributiva de potência feita no desafio 1, na parte que ficou -b²i². Afinal de contas, bi não é uma coisa só? Ou b é uma coisa e i é outra? Agora confundi tudo...
    (4 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
    • Avatar aqualine ultimate style do usuário Filipe Calixto
      Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “Nesse caso temos a difere...” de Filipe Calixto
      Nesse caso temos a diferença de 2 quadrados
      (a+b)(a-b) = a² - b²
      no caso temos (a−bi)(a+bi)
      que fica
      a² - (bi)² // propriedade das potências
      <=>
      a - b²i² // i² está multiplicando o -b²
      <=>
      a - b² * -1 // i² é igual a -1
      <=>
      a+b² // multiplicar por -1 é inverter o sinal
      ----
      o b é como se fosse o coeficiente da unidade imaginária, se temos 5i, temos 5 unidades imáginarias, é como escrever um numero real por exemplo, 35, se por acaso chamarmos uma unidade real de u: u = 1, então 35u significa que temos 35 unidades reais, com i é a mesma coisa, só que no caso são unidades imaginarias
      (6 votos)
  • Avatar orange juice squid orange style do usuário Arbex Baiesta
    Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “a resposta sempre tem de ...” de Arbex Baiesta
    a resposta sempre tem de estar na forma a+bI, quando o "I" estiver elevado a alguma potência?
    (5 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
  • Avatar blobby green style do usuário Camila Pires
    Publicado há há 2 anos. Link direto para a postagem “se for (bi)(bi) estaria c...” de Camila Pires
    se for (bi)(bi) estaria correto por bi²? Ou tem que ser exatamente do jeito que está no exercício?
    (1 voto)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.