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Conteúdo principal

O plano complexo

Aprenda o que é um plano complexo e saiba como ele é usado para representar números complexos.
A unidade imaginária, ou i, é o número com as seguintes propriedades equivalentes:
  • i, squared, equals, minus, 1
  • square root of, minus, 1, end square root, equals, i
Um número complexo é qualquer número que pode ser escrito como start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, sendo i a unidade imaginária e start color #1fab54, a, end color #1fab54 e start color #11accd, b, end color #11accd os números reais.
start color #1fab54, a, end color #1fab54 é chamado de parte start color #1fab54, start text, r, e, a, l, end text, end color #1fab54 do número, e start color #11accd, b, end color #11accd é a parte start color #11accd, start text, i, m, a, g, i, n, a, with, \', on top, r, i, a, end text, end color #11accd do número.

O plano complexo

Assim como podemos usar a reta numérica para visualizar o conjunto de números reais, podemos usar o plano complexo para visualizar o conjunto de números complexos.
O plano complexo consiste em duas retas numéricas que se interceptam em um ângulo reto no ponto left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis.
A reta numérica horizontal (que conhecemos como o eixo x no plano das coordenadas) é o eixo real.
A reta numérica vertical (o eixo y do plano das coordenadas) é o eixo imaginário.

Plotagem de um número complexo

Todo número complexo pode ser representado por um ponto no plano complexo.
Por exemplo, considere o número 3, minus, 5, i. Este número, também expressado como start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis, i, tem uma parte real de start color #1fab54, 3, end color #1fab54 e uma parte imaginária de start color #11accd, minus, 5, end color #11accd.
A posição desse número no plano complexo é o ponto que corresponde a start color #1fab54, 3, end color #1fab54 no eixo real e start color #11accd, minus, 5, end color #11accd no eixo imaginário.
Então, o número start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis, i está associado ao ponto left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, comma, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis. Em geral, o número complexo start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i corresponde ao ponto left parenthesis, start color #1fab54, a, end color #1fab54, comma, start color #11accd, b, end color #11accd, right parenthesis no plano complexo.

Teste seu conhecimento

Problema 1
Plote o número complexo minus, 4, plus, 7, i.

Problema 2
Plote o número complexo 6, i, plus, 1.

Problema 3
Plote o número complexo minus, i, minus, 3.

Problema 4
Plote o número complexo 4, i.

Problema 5
Plote o número complexo minus, 7.

Conexões com a reta numérica real

Na época de Pitágoras, a existência de números irracionais foi uma descoberta surpreendente! Eles imaginaram como algo como square root of, 2, end square root poderia existir sem uma expansão decimal precisa e completa.
A reta numérica real, contudo, ajuda-nos a lidar com esse dilema. Por quê? Porque square root of, 2, end square root tem uma posição específica na reta numérica real, mostrando que ele é, de fato, um número real. (Se você pegar a diagonal de um quadrado unitário e colocar uma extremidade em 0, a outra extremidade corresponde ao número square root of, 2, end square root).
Da mesma forma, todo número complexo de fato existe porque ele corresponde a uma posição exata no plano complexo! Talvez, sendo capazes de visualizar esses números, podemos entender que chamá-los de "imaginários" foi um infeliz equívoco.
Números complexos existem e são parte importante da matemática. A reta numérica real é simplesmente o eixo real do plano complexo, mas há muito mais além dessa única reta!

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  • Avatar leaf green style do usuário Tales Siqueira
    Então, um número que apresenta a parte imaginária igual a zero ainda pode ser considerado um número complexo? (Ex: -2; Re=-2, Im=0)
    (3 votos)
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  • Avatar blobby green style do usuário ECulanda
    encontro me a fazer engenharia mecânica e estou a sentir muitas dificuldades no que toca álgebra relativamente os números complexos com raízes quadradas poderiam por favor me ajudar
    (3 votos)
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  • Avatar blobby green style do usuário Ysaak C
    Interessante!
    (2 votos)
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  • Avatar leafers tree style do usuário Telles
    Mano, então, a maioria dos números imaginários são na verdade números reais normais, afinal tem um local exato no plano complexo, mas ao mesmo tempo não podemos os classificar como normais, já que a parte imaginária do número não existe?
    (1 voto)
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