O plano complexo

A unidade imaginária, ou $i$i, é o número com as seguintes propriedades equivalentes:

Um número complexo é qualquer número que pode ser escrito como $\greenD{a}+\blueD{b}i$start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, sendo $i$i a unidade imaginária e $\greenD{a}$start color #1fab54, a, end color #1fab54 e $\blueD{b}$start color #11accd, b, end color #11accd os números reais.

$\greenD a$start color #1fab54, a, end color #1fab54 é chamado de parte $\greenD{\text{real}}$start color #1fab54, start text, r, e, a, l, end text, end color #1fab54 do número, e $\blueD b$start color #11accd, b, end color #11accd é a parte $\blueD{\text{imaginária}}$start color #11accd, start text, i, m, a, g, i, n, a, with, \', on top, r, i, a, end text, end color #11accd do número.

Assim como podemos usar a reta numérica para visualizar o conjunto de números reais, podemos usar o plano complexo para visualizar o conjunto de números complexos.

O plano complexo consiste em duas retas numéricas que se interceptam em um ângulo reto no ponto $(0,0)$left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis.

A reta numérica horizontal (que conhecemos como o eixo $x$x no plano das coordenadas) é o eixo real.

A reta numérica vertical (o eixo $y$y do plano das coordenadas) é o eixo imaginário.

Todo número complexo pode ser representado por um ponto no plano complexo.

Por exemplo, considere o número $3-5i$3, minus, 5, i. Este número, também expressado como $\greenD{3}+(\blueD{-5})i$start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis, i, tem uma parte real de $\greenD{3}$start color #1fab54, 3, end color #1fab54 e uma parte imaginária de $\blueD{-5}$start color #11accd, minus, 5, end color #11accd.

A posição desse número no plano complexo é o ponto que corresponde a $\greenD{3}$start color #1fab54, 3, end color #1fab54 no eixo real e $\blueD{-5}$start color #11accd, minus, 5, end color #11accd no eixo imaginário.

Então, o número $\greenD{3}+(\blueD{-5})i$start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis, i está associado ao ponto $(\greenD{3}, \blueD{-5})$left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, comma, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis. Em geral, o número complexo $\greenD a+\blueD bi$start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i corresponde ao ponto $(\greenD a,\blueD b)$left parenthesis, start color #1fab54, a, end color #1fab54, comma, start color #11accd, b, end color #11accd, right parenthesis no plano complexo.

Na época de Pitágoras, a existência de números irracionais foi uma descoberta surpreendente! Eles imaginaram como algo como $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root poderia existir sem uma expansão decimal precisa e completa.

A reta numérica real, contudo, ajuda-nos a lidar com esse dilema. Por quê? Porque $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root tem uma posição específica na reta numérica real, mostrando que ele é, de fato, um número real. (Se você pegar a diagonal de um quadrado unitário e colocar uma extremidade em $0$0, a outra extremidade corresponde ao número $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root).

Da mesma forma, todo número complexo de fato existe porque ele corresponde a uma posição exata no plano complexo! Talvez, sendo capazes de visualizar esses números, podemos entender que chamá-los de "imaginários" foi um infeliz equívoco.

Números complexos existem e são parte importante da matemática. A reta numérica real é simplesmente o eixo real do plano complexo, mas há muito mais além dessa única reta!