Se o sistema dos números complexos sempre existiu, por que não nos deram uma prévia do assunto no ensino fundamental assim como os outros conjuntos?

Os números imaginários são uma classe de números para aplicações em equações que não descrevem problemas reais, como uma parábola por exemplo, que descreve o movimento de um projétil, ou uma reta, que descreve o aumento dos preços de uma mercadoria. Em alguns colégios os números imaginários até faz parte do conteúdo, mas essa dificuldade em demostra-lo faz com que ele não seja tão presente no ensino médio.

Simplifique √−24 não to conseguindo entender

Você deve fatorar 24. Como 24 é igual a 4 * 6, e 4 tem raiz quadrada inteira(igual a dois) seria assim: (raiz quadrada de 4, que é igual a dois)vezes(i)vezes(raiz quadrada de 6). Espero ter ajudado.

Não entendo porque tenho que estudar isso...

Tenha mais determinação, Juliano! Eu confio em você! Números complexos são muito úteis em diversas áreas do nosso mundo, e além do mais, desenvolvem nossas capacidades matemáticas e rompem limites. Se você não se interessou por nada disso, pense que o simples ato de estudar algo como isso desenvolverá muitas áreas do seu cérebro ligadas a raciocínio e pensamento abstrato. Entretanto, espero que você se interesse pela matemática. Acredite em mim, a matemática conforme nos ensinam no colégio pode parecer chata, mas quando você toma seu tempo para realmente estudar ela, você percebe o quão fascinante ela é. Determinação!

Por que o número -144 está com raiz negativa? (-raiz(-144)) e na forma simplificada como (-12i)

Vamos lá... - raiz(-144). Vamos nos concentrar por enquanto somente na raiz(-144), então fazemos i.raiz144, ou seja, i.12, ou ainda, 12i. Quase pronto, só não podemos esquecer daquele sinal negativo que "ignoramos" no início. Então temos -12i Espero ter ajudado.

não tem uma formula exata para conseguir passar em um vestibular ,mas com muito estudo , exercícios , cuidando da saudade e com disciplina você consegue, contudo oque vale no final não é o quanto você é inteligente e sim o quanto você é esforçado, errando muitas questões refazendo-as e aprendendo mais pra fazer mais questões sem errar . Concelho : foca no básico, construa-o e deixe bem sólido, aqui no KA é uma ótima plataforma pra isso , quando ver aulas aqui, faça as questões e não fique só por aqui, pegue questões mais complexas pra você se habituar com a dificuldade * se você está na caminhada já lhe desejo boa sorte e não desista, se isso é o que você quer corre atras * se precisar pode chamar, até fui ....

para que servem a geometria ?

A geometria é o estudo das formas geométricas. com ela encontramos relações entre os lados de um triangulo, áreas de polígonos, e tantas outras relações importantes de figuras que nos cercam. Ou seja ela nos fornece informações para melhor entendermos o mundo a nossa volta.

Conteúdo principal

Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 2

Lição 1: A unidade imaginária i

Introdução aos números imaginários

Google Sala de Aula

Aprenda sobre a unidade imaginária i, sobre números imaginários e sobre as raízes quadradas de números negativos.

Em seus estudos na matemática, você deve ter percebido que algumas equações de segundo grau não têm soluções com números reais.

Por exemplo, tente o quanto quiser, mas você nunca vai encontrar uma solução com um número real para a equação

x^{2} = - 1

. Isso porque é impossível tirar a raiz quadrada de um número real e obter um valor negativo!

Contudo, uma solução para a equação

x^{2} = - 1

existe em um novo sistema numérico chamado sistema dos números complexos.

A unidade imaginária

A espinha dorsal desse novo sistema numérico é a unidade imaginária, ou o número

i

O que temos a seguir é verdade sobre o número

i

$i = \sqrt{- 1}$ ‍
$i^{2} = - 1$ ‍

A segunda propriedade nos mostra que o número

i

é de fato uma solução para a equação

x^{2} = - 1

. A equação, anteriormente impossível de se resolver, agora pode ser resolvida com a adição da unidade imaginária!

Números imaginários puros

O número

i

nunca está sozinho! Tirando múltiplos dessa unidade imaginária, podemos criar infinitos novos números reais imaginários.

Por exemplo,

3 i

i \sqrt{5}

, e

- 12 i

são exemplos de números puramente imaginários, ou números na forma

b i

, sendo

b

um número real diferente de zero.

Elevar esses números ao quadrado nos dá alguma noção de como eles se relacionam com os números reais. Vamos investigar isso elevando

3 i

ao quadrado. As propriedades dos expoentes inteiros continuam as mesmas, então podemos elevar

3 i

ao quadrado como imaginamos.

$\begin{aligned} (3 i)^{2} & = 3^{2} i^{2} \\ = 9 i^{2} \end{aligned}$ ‍

Usando o fato de que

i^{2} = - 1

, podemos simplificar mais um pouco, como mostrado.

$\begin{aligned} = 9 i^{2} \\ = 9 (- 1) \\ = - 9 \end{aligned}$ ‍

O fato de que

(3 i)^{2} = - 9

significa que

3 i

é uma raiz quadrada de

- 9

Teste seu conhecimento

Quanto é $(4 i)^{2}$ ‍?

Qual das seguintes opções é uma raiz quadrada de $- 16$ ‍?

Dessa forma, podemos ver que números puramente imaginários são raízes quadradas de números negativos!

Simplificação de números imaginários puros

A tabela abaixo mostra exemplos de números puramente imaginários na forma simplificada e na forma não simplificada.

Forma não simplificada	Forma simplificada
$\sqrt{- 9}$ ‍	$3 i$ ‍
$\sqrt{- 5}$ ‍	$i \sqrt{5}$ ‍
$- \sqrt{- 144}$ ‍	$- 12 i$ ‍

Mas como simplificamos esses números puramente imaginários?

Vamos analisar melhor o primeiro exemplo e ver se podemos pensar por meio da simplificação.

Equivalência original	Processo de reflexão
$\begin{array}{r} \sqrt{- 9} = 3 i \end{array}$ ‍	A raiz quadrada de $- 9$ ‍ é um número imaginário. A raiz quadrada de $9$ ‍ é $3$ ‍, então a raiz quadrada de $9$ ‍ negativo é $3$ ‍ unidades imaginárias, ou $3 i$ ‍.

A propriedade a seguir explica o "processo de reflexão" acima em termos matemáticos.

Para $a > 0$ ‍, $\sqrt{- a} = i \sqrt{a}$ ‍

Se juntarmos isso com o que já sabemos sobre a simplificação de radicais, podemos simplificar todos os números imaginários. Vamos ver um exemplo.

Exemplo

Simplifique

\sqrt{- 18}

Solução

Primeiro, vamos ver que

\sqrt{- 18}

é um número imaginário, já que ele é a raiz quadrada de um número negativo. Então, podemos começar reescrevendo

\sqrt{- 18}

como

i \sqrt{18}

Em seguida, podemos simplificar

\sqrt{18}

usando o que já sabemos sobre a simplificação de radicais.

O trabalho é mostrado abaixo.

\begin{aligned} \sqrt{- 18} & = i \sqrt{18} & Para a > 0, \sqrt{- a} = i \sqrt{a} \\ = i \cdot \sqrt{9 \cdot 2} & 9 é um fator quadrado perfeito de 18 \\ = i \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} & \sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} quando a, b \geq 0 \\ = i \cdot 3 \cdot \sqrt{2} & \sqrt{9} = 3 \\ = 3 i \sqrt{2} & A multiplicação é comutativa \end{aligned}

Assim, temos que

\sqrt{- 18} = 3 i \sqrt{2}

Vamos praticar com alguns problemas

Problema 1

Simplifique

\sqrt{- 25}

Problema 2

Simplifique

\sqrt{- 10}

Problema 3

Simplifique

\sqrt{- 24}

Afinal, por que temos números imaginários?

A resposta é simples. A unidade imaginária

i

nos permite encontrar soluções para muitas equações que não têm soluções com números reais.

Isso pode parecer estranho, mas na verdade é muito comum que equações não possam ser resolvidas em um sistema numérico mas possam ser resolvidas em outro, mais geral.

Temos aqui alguns exemplos com os quais você pode estar mais familiarizado.

Apenas com os números naturais, não podemos calcular $x + 8 = 1$ ‍; precisamos dos inteiros para isso!
Apenas com os números inteiros, não podemos calcular $3 x - 1 = 0$ ‍; precisamos dos números racionais para isso!
Apenas com os números racionais, não podemos calcular $x^{2} = 2$ ‍. Aqui entram os números irracionais e o sistema de números reais!

E então, apenas com os números reais, não podemos calcular

x^{2} = - 1

. Precisamos dos números imaginários para isso!

Conforme você continua a estudar matemática, você começa a ver a importância desses números.

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Marcello Nascimento
Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “Se o sistema dos números ...” de Marcello Nascimento
Se o sistema dos números complexos sempre existiu, por que não nos deram uma prévia do assunto no ensino fundamental assim como os outros conjuntos?
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Resposta
- everton.bovo
  Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “Os números imaginários sã...” de everton.bovo
  Os números imaginários são uma classe de números para aplicações em equações que não descrevem problemas reais, como uma parábola por exemplo, que descreve o movimento de um projétil, ou uma reta, que descreve o aumento dos preços de uma mercadoria.
  Em alguns colégios os números imaginários até faz parte do conteúdo, mas essa dificuldade em demostra-lo faz com que ele não seja tão presente no ensino médio.
  Comentar sobre a postagem “Os números imaginários sã...” de everton.bovo
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Juliano Eymar
Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “Não entendo porque tenho ...” de Juliano Eymar
Não entendo porque tenho que estudar isso...
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- Lucas Costa Valença
  Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “Tenha mais determinação, ...” de Lucas Costa Valença
  Tenha mais determinação, Juliano! Eu confio em você!
  Números complexos são muito úteis em diversas áreas do nosso mundo, e além do mais, desenvolvem nossas capacidades matemáticas e rompem limites.
  Se você não se interessou por nada disso, pense que o simples ato de estudar algo como isso desenvolverá muitas áreas do seu cérebro ligadas a raciocínio e pensamento abstrato.
  Entretanto, espero que você se interesse pela matemática. Acredite em mim, a matemática conforme nos ensinam no colégio pode parecer chata, mas quando você toma seu tempo para realmente estudar ela, você percebe o quão fascinante ela é.
  Determinação!
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Miriã Batista
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Simplifique √−24 não to...” de Miriã Batista
Simplifique √−24
não to conseguindo entender
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Resposta
- Cristiano de Campos
  Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Você deve fatorar 24. Com...” de Cristiano de Campos
  Você deve fatorar 24. Como 24 é igual a 4 * 6, e 4 tem raiz quadrada inteira(igual a dois) seria assim: (raiz quadrada de 4, que é igual a dois)vezes(i)vezes(raiz quadrada de 6). Espero ter ajudado.
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Joao Victor
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “como passar no ita?” de Joao Victor
como passar no ita?
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- Cristhian Ω ο ρ φ χ ψ
  Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “não tem uma formula exata...” de Cristhian Ω ο ρ φ χ ψ
  não tem uma formula exata para conseguir passar em um vestibular ,mas com muito estudo , exercícios , cuidando da saudade e com disciplina você consegue, contudo oque vale no final não é o quanto você é inteligente e sim o quanto você é esforçado, errando muitas questões refazendo-as e aprendendo mais pra fazer mais questões sem errar .
  
  Concelho :
  foca no básico, construa-o e deixe bem sólido, aqui no KA é uma ótima plataforma pra isso , quando ver aulas aqui, faça as questões e não fique só por aqui, pegue questões mais complexas pra você se habituar com a dificuldade
  
  * se você está na caminhada já lhe desejo boa sorte e não desista, se isso é o que você quer corre atras
  * se precisar pode chamar, até fui ....
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  (6 votos)
israel seoane
Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “para que servem a geometr...” de israel seoane
para que servem a geometria ?
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Resposta
- everton.bovo
  Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “A geometria é o estudo da...” de everton.bovo
  A geometria é o estudo das formas geométricas. com ela encontramos relações entre os lados de um triangulo, áreas de polígonos, e tantas outras relações importantes de figuras que nos cercam. Ou seja ela nos fornece informações para melhor entendermos o mundo a nossa volta.
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Alexandre Coelho
Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “Por que o número -144 est...” de Alexandre Coelho
Por que o número -144 está com raiz negativa? (-raiz(-144)) e na forma simplificada como (-12i)
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Resposta
- Augusto Soares
  Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “Vamos lá... - raiz(-144)....” de Augusto Soares
  Vamos lá... - raiz(-144). Vamos nos concentrar por enquanto somente na raiz(-144), então fazemos i.raiz144, ou seja, i.12, ou ainda, 12i. Quase pronto, só não podemos esquecer daquele sinal negativo que "ignoramos" no início. Então temos -12i
  Espero ter ajudado.
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Lourdes de Assis
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Menos raiz quadrada de de...” de Lourdes de Assis
Menos raiz quadrada de dez é igual a raiz quadrada menos dez? Ou existe alguma diferença? O mesmo vale para menos raiz quadrada menos dez?
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- Jair Martins
  Publicado há há 2 anos. Link direto para a postagem “-raiz(10) é diferente de ...” de Jair Martins
  -raiz(10) é diferente de raiz(-10).
  Só pela escrita verificamos que as formas não são intercambiáveis.
  Na primeira temos, aproximadamente, -3,16; na segunda, 3,16i.
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Felipe Costa
Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “como ser mais inteligente” de Felipe Costa
como ser mais inteligente
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- karapow.22
  Publicado há há 9 meses. Link direto para a postagem “Leia o audio book do Olav...” de karapow.22
  Leia o audio book do Olavo de Carvalho, "O mínimo que você precisa saber para não ser um i..." Lá ele critica o muitos assuntos diversos e amplia sua visão de mundo. Pode ser um pontapé inicial para que você comece a jornada do verdadeiro conhecimento. (Tem no Youtube e nem precisa ler, maravilha)
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