No caso do desafio. i^-1. tem outra forma de pensar na resolução? como por exemplo: a^-1 é igual a 1/a. Esse caso não se aplica nos números imaginários?

i^(-1) = 1/i = 1/sqrt(-1)= 1*sqrt(-1)/sqrt(-1)*sqrt(-1) (racionalizando o denominador) = i/i^2 = i/-1 = -i

Conteúdo principal

Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 2

Lição 1: A unidade imaginária i

Potências da unidade imaginária

Aprenda a simplificar qualquer potência da unidade imaginária i. Por exemplo, simplifique i²⁷ como -i.

Sabemos que

i = \sqrt{- 1}

e que

i^{2} = - 1

Mas e quanto a

i^{3}

i^{4}

? Outras potências inteiras de

i

? Como podemos calculá-las?

Como calcular $i^{3}$ ‍ e $i^{4}$ ‍

As propriedades dos expoentes podem nos ajudar aqui! De fato, quando calculamos potências de

i

, podemos aplicar as propriedades de expoentes que sabemos que são verdadeiras no sistema de números reais, contanto que os expoentes sejam inteiros.

Com isso em mente, vamos calcular

i^{3}

i^{4}

Sabemos que

i^{3} = i^{2} \cdot i

. Mas como

i^{2} = - 1

, vemos que:

\begin{aligned} i^{3} & = i^{2} \cdot i \\ = (- 1) \cdot i \\ = - i \end{aligned}

De forma semelhante,

i^{4} = i^{2} \cdot i^{2}

. Novamente, usando o fato de que

i^{2} = - 1

, temos o seguinte:

\begin{aligned} i^{4} & = i^{2} \cdot i^{2} \\ = (- 1) \cdot (- 1) \\ = 1 \end{aligned}

Mais potências de $i$ ‍

Vamos continuar! Vamos encontrar as próximas

4

potências de

i

usando um método semelhante.

\begin{aligned} i^{5} & = i^{4} \cdot i & Propriedades dos expoentes \\ = 1 \cdot i & Como i^{4} = 1 \\ = i \\ i^{6} & = i^{4} \cdot i^{2} & Propriedades dos expoentes \\ = 1 \cdot (- 1) & Como i^{4} = 1 e i^{2} = - 1 \\ = - 1 \\ i^{7} & = i^{4} \cdot i^{3} & Propriedades dos expoentes \\ = 1 \cdot (- i) & Como i^{4} = 1 e i^{3} = - i \\ = - i \\ i^{8} & = i^{4} \cdot i^{4} & Propriedades dos expoentes \\ = 1 \cdot 1 & Como i^{4} = 1 \\ = 1 \end{aligned}

Os resultados estão resumidos na tabela.

$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Um padrão emergente

Olhando para a tabela, parece que as potências de

i

são um ciclo que forma a sequência

i

- 1

- i

1

Usando esse padrão, podemos calcular

i^{20}

? Vamos tentar!

A lista a seguir mostra os primeiros

20

números na sequência de repetição.

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

De acordo com essa lógica,

i^{20}

deve ser igual a

1

. Vamos ver se conseguimos manter isso usando expoentes. Lembre-se, podemos usar as propriedades dos expoentes aqui da mesma forma que fazemos com números reais!

\begin{aligned} i^{20} & = (i^{4})^{5} & Propriedades dos expoentes \\ = (1)^{5} & i^{4} = 1 \\ = 1 & Simplificação \end{aligned}

De qualquer forma, vemos que

i^{20} = 1

Potências maiores de $i$ ‍

Suponha que agora queiramos calcular

i^{138}

. Poderíamos listar a sequência

i

- 1

- i

1

,... até o

138^{o}

termo, mas isso levaria muito tempo!

Observe, contudo, que

i^{4} = 1

i^{8} = 1

i^{12} = 1

, etc., ou, em outras palavras, que

i

elevado a um múltiplo de $4$ ‍ é

1

Podemos usar esse fato junto com as propriedades dos expoentes para nos ajudar a simplificar

i^{138}

Exemplo

Simplifique

i^{138}

Solução

Embora

138

não seja um múltiplo de

4

, o número

136

é! Vamos usar isso para nos ajudar a simplificar

i^{138}

\begin{aligned} i^{138} & = i^{136} \cdot i^{2} & Propriedades dos expoentes \\ = (i^{4 \cdot 34}) \cdot i^{2} & 136 = 4 \cdot 34 \\ = (i^{4})^{34} \cdot i^{2} & Propriedades dos expoentes \\ = (1)^{34} \cdot i^{2} & i^{4} = 1 \\ = 1 \cdot - 1 & i^{2} = - 1 \\ = - 1 \end{aligned}

Então,

i^{138} = - 1

Agora você pode perguntar por que escolhemos escrever

i^{138}

como

i^{136} \cdot i^{2}

Bem, se o expoente original não for um múltiplo de

4

, então encontrar o múltiplo de

4

mais próximo que seja menor a ele nos permite simplificar a potência para

i

i^{2}

, ou

i^{3}

simplesmente usando o fato de que

i^{4} = 1

Esse número é fácil de encontrar se você dividir o expoente original por

4

. Ele é simplesmente o quociente (sem o resto) vezes

4

Vamos praticar com alguns problemas

Problema 1

Simplifique $i^{227}$ ‍.

Problema 2

Simplifique $i^{2016}$ ‍.

Problema 3

Simplifique $i^{537}$ ‍.

Desafio

Qual das seguintes opções é equivalente a $i^{- 1}$ ‍?

Uma forma fácil de abordar esse problema é usar e estender o padrão.

$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Contudo, ao invés de expandir o padrão para a direita (para expoentes

> 1

), podemos pensar sobre expandir o padrão para a esquerda (expoentes

< 1

). De fato, como queremos saber quanto é

i^{- 1}

, podemos simplesmente estender a sequência duas casas à esquerda.

	$i^{- 1}$ ‍	$i^{0}$ ‍	$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
			$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Preenchendo os espaços, temos:

$i^{- 1}$ ‍	$i^{0}$ ‍	$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Então,

i^{- 1} = - i

Também podemos verificar isso algebricamente usando as propriedades dos expoentes, como mostrado abaixo:

\begin{aligned} i^{3} & = i^{4} \cdot i^{- 1} \\ - i & = 1 \cdot i^{- 1} & Como i^{3} = - i e i^{4} = 1 \\ - i & = i^{- 1} \end{aligned}

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everton.bovo
Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “No caso do desafio. i^-1...” de everton.bovo
No caso do desafio. i^-1. tem outra forma de pensar na resolução? como por exemplo: a^-1 é igual a 1/a. Esse caso não se aplica nos números imaginários?
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- Lucas Eduardo Bonancio Skora
  Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “i^(-1) = 1/i = 1/sqrt...” de Lucas Eduardo Bonancio Skora
  i^(-1) = 1/i = 1/sqrt(-1)= 1*sqrt(-1)/sqrt(-1)*sqrt(-1) (racionalizando o denominador) =
  i/i^2 = i/-1 = -i
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Wanessa Navarro
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Então, a sequência fica n...” de Wanessa Navarro
Então, a sequência fica negativa no lado esquerdo da reta quando o expoente é negativo. Se eu quiser saber o valor de 1 elevado a dois negativo, a resposta seria 1?
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