Sistemas de equações do segundo grau: uma reta e um círculo

RKA - Quais são as soluções para o sistema de equações "y = x + 1" e "x² + y² = 25". Primeiro, é bom visualizar o que estamos tentando fazer. Vou tentar fazer um gráfico aproximado dessas duas equações. Aqui, meu eixo "y"; esse é o meu eixo "x" (isso bem aqui). "x² + y² = 25". Isso vai ser uma circunferência com o centro em "0", com raio 5. Você não precisa saber disso para resolver esse problema, mas ajuda a visualizar. Se é 5, isto é 5... 5... esse bem aqui é -5, esse bem aqui é -5. Essa equação seria representada por esse conjunto de pontos, ou é um conjunto de pontos que satisfaz essa equação. Então, eu vou... estou tentando desenhar o mais próximo de uma circunferência perfeita. "y = x + 1", e é uma reta de inclinação 1 com intersecção em (1, y); é 1, 2, 3, 4; a intersecção em "y" está lá e tem uma inclinação de 1. Então, se parece com algo assim. Quando estamos procurando as soluções, procuramos os pontos que satisfazem os dois. Os pontos que satisfazem os dois são os pontos que ficam nos dois. É aquele ponto... (vou fazer em verde)... é este ponto, e é este ponto bem aqui. Como realmente encontramos isso? A maneira mais simples é: algumas vezes, a forma mais fácil é substituir uma dessas limitações pela outra limitação. E, uma vez que já resolveram "y", dá para substituir "y" na equação azul, com "x + 1" com este limite bem aqui. Em vez de dizer "x² + y² = 25", dá para dizer "x²" mais... e, em vez de escrever "y", estamos somando o valor de que "y" deve ser "x + 1"... "x² + (x + 1)²" deve ser igual a 25. E, agora, dá para tentar resolver o "x". A gente tem "x²" mais... agora, elevamos ao quadrado e tem... (vou escrever em rosa)... "x² + 2x + 1" e deve ser igual a 25. Tem "2x²"... agora estou apenas combinando esses dois termos.... "2x² + 2x + 1", que é igual a 25. Agora, dá para usar só a fórmula quadrática, também conhecida como fórmula de Bhaskara, para encontrar as raízes da equação. É melhor tomar cuidado. Tem que tomar isto é igual a "0" e depois usar a fórmula de Bhaskara. Então, vamos subtrair 25 de cada lado, e poderia pegar "2x² + 2x - 24 = 0". Na verdade, vamos apenas simplificar. Vamos dividir os dois lados por 2 e você tem "x² + x - 12 = 0". Na verdade, nem mesmo precisamos usar a fórmula quadrática; dá para fazer a fatoração disso. Quais são os dois números que, quando pegamos seus produtos, tem -12 e, quando somamos, tem +1? 4 e -3 resolveriam a questão. Tem "(x + 4)‧(x - 3) = 0". "x" poderia ser igual a... bom, se "x + 4" é "0", então tornaria tudo verdadeiro, "x" poderia ser igual a -4 ou "x" poderia ser igual a +3. Então, isso é uma situação onde "x" é -4, isso aqui é uma situação onde "x" é 3. Estamos quase lá. Apenas temos que encontrar os "y" correspondentes. Para isso, a gente pode recorrer à equação mais simples: "y" é "x + 1". Nessa situação, quando "x" é -4, "y" vai ser "-4 + 1". Por isso, "y" vai ser -3. Esse é o ponto (-4, -3). Da mesma forma, quando "x" é 3, "y" vai ser igual a 4. Esse é o ponto (3, 4). Estas são as duas soluções para esse sistema de equações não lineares e também as coordenadas das duas intersecções da reta com a circunferência.