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Equações com expressões racionais (exemplo 2)

Transcrição de vídeo

RKA - Temos a equação - 2x + 4 sobre x - 1 igual a 3 sobre x + 1, - 1. A primeira coisa para a gente resolver essa equação, é interessante que nós tiremos o x - 1 e o x + 1 dos denominadores. Para isso podemos multiplicar por x - 1 ambos os lados da equação e por x + 1, multiplicando ambos os lados por x - 1 e por x + 1, nós vamos eliminar os denominadores. Tendo em mente que ao achar a resposta da equação temos que ver que ela não pode ser - 1, nem pode ser + 1, + 1 zera esse denominador, então deixa de ser resposta, e - 1 zera esse dominador e deixa de ser a resposta para essa equação. Ou seja, quando chegarmos na resposta da equação temos que ver se é igual a + 1 ou - 1. Caso seja, temos que invalidar a resposta e considerar apenas a resposta que seja diferente de + 1 ou - 1. Nós temos que x - 1 simplifica com x - 1 aqui e nós vamos ter x + 1 vezes - 2x + 4 isso vai ser igual a 3 sobre x + 1 vezes x + 1 vezes x - 1. x + 1 corta com x +1 e vamos ter 3 vezes x - 1 menos... esse 1 está isolado e vai ser multiplicado por x - 1 vezes x + 1. x - 1 vezes x + 1 é o produto da soma pela diferença, ou seja, é o quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo. Se você não está familiarizado com essa conta, assista aos vídeos da Khan Academy que falam sobre esse assunto. Vamos abrir agora os parentes. Nós temos x vezes - 2x menos 2x ao quadrado. x vezes 4, nós temos + 4x. 1 vezes - 2x igual a - 2x, e 1 vezes 4 nós temos + 4, isso é igual a 3 vezes x igual a 3. 3 vezes - 1 igual a - 3, - 1 vezes x ao quadrado igual a - x ao quadrado, - 1 vezes - 1 dá + 1. Aqui vamos agora fazer essas contas: 4x menos 2x vamos ter 2x. E aqui, - 3 + 1, vamos ter - 2. Repetindo a equação, nós temos - 2x ao quadrado mais 2x mais 4 igual a 3x menos x ao quadrado menos 2. Vamos fazer o seguinte, vamos somar 2 de ambos os lados, somar x ao quadrado de ambos os lados e subtrair 3x de ambos os lados. Com isso, esse termo da direita vai zerar. - 2 + 2 dá zero, - x à 2ª + x à 2ª dá zero, 3x - 3x dá zero, e desse lado da esquerda nós temos - x ao quadrado - x + 6 igual a zero. Para não ficarmos trabalhando com um sinal negativo na frente do x, e aqui desse lado é zero, podemos multiplicar por -1 ambos os lados, e ficamos com x ao quadrado + x - 6 é igual a zero. Podemos perguntar quais são os números que multiplicados dão - 6 e somados dão 1. Esses números devem ter sinais opostos, pois a multiplicação dá um sinal de menos, e o número que é positivo em valor absoluto deve ser maior do que o negativo, já que essa soma dá positiva. Portanto 3 e - 2 são possíveis candidatos, então vamos ver: 3 vezes - 2 dá - 6 e 3 mais - 2 dá 1. Então podemos escrever esse polinômio dessa forma. Então x - 3 vezes x - 2. Se fizermos essa multiplicação encontraremos esse polinômio. Portanto temos duas raízes, temos a raiz x igual a - 3 ou a raiz x igual a 2. Vamos verificar agora se não tem nenhuma incongruência com a equação inicial, pois nós cancelamos um denominador, nós só podemos cancelar o denominador se ele for diferente de zero. Para x = - 3 esse denominador não vai ficar igual a zero para x = 2 também não, e esse denominador também, nem para x = - 3 vai ficar igual a zero. Nem para x = 2 esse denominador vai ficar igual a zero, portanto nossa solução x = - 3 ou x = 2.