Como encontrar funções inversas: racionais

RKA - Dada a função "g" definida por "g(x)" igual a "2x" menos 1 sobre "x" mais 3, pause o vídeo e tente obter a expressão que define a função inversa de "g". Assumindo que você já fez a sua tentativa, vamos aqui ao que é simplesmente um lembrete daquilo que estamos tratando, que é a função inversa. Se eu tiver aqui um conjunto, que é o domínio, ou seja, um conjunto de todos os possíveis valores de "x", ou todas as possíveis entradas para a função "g", e se eu considerar aqui o conjunto imagem, que é o conjunto de todos os possíveis resultados do "g(x)", ou todas as saídas da função "g", para uma dada entrada, por exemplo, o "x", o elemento do domínio, a função "g" vai levar "x" a um valor do conjunto imagem, sendo aqui "x", na imagem teremos "g(x)". E a função inversa funciona no sentido oposto, você toma um elemento da imagem e aplicando a função inversa, e você volta para o mesmo elemento "x" do domínio. Há várias maneiras de pensar sobre isso, por exemplo, seja "y" igual "g(x)", e podemos então aqui no "g(x)" chamá-lo de "y" simplesmente, neste cálculo que define a função "g" ao atribuir um valor para "x" fazemos estas contas e obtemos como resultado o "y". E agora a pergunta é: como fazemos ao contrário? Bom, nós poderíamos simplesmente resolver para "x", ou seja, isolar "x". E é exatamente isso que vamos fazer aqui, tomando bastante cuidado e vamos supor, satisfeitas as condições, para que tenhamos uma bijeção. Vamos dizer então que o "y" é igual a "2x" menos 1, tudo sobre "x" mais 3. A nossa intenção é isolar "x" para poder obter "x" a partir de "y", ou seja, o sentido oposto do que estava acontecendo ao aplicarmos a função "g" em "x". Vou multiplicar os dois lados por "x" mais 3. Vamos ficar então com "y" vezes parênteses (x + 3) igual a "2x" menos 1. O que eu fiz aqui foi multiplicar os dois lados por "x" mais 3 para cancelar o denominador do lado direito da igualdade, vou distribuir o "y" aqui para eliminar os parênteses, fazendo cuidadosamente, vamos ter "yx" mais "3y" igual a "2x" menos 1. Lembre-se de que estamos tentando isolar "x", ou seja, eu preciso organizar tudo que tem "x" em um dos membros da igualdade, e o que não envolve "x" no outro membro da igualdade. Eu vou escolher aqui, deixar o que envolve "x" do lado esquerdo da igualdade, e o que não envolve "x", naturalmente à direita da igualdade. Vou tirar o "3y" aqui dos dois lados, e também subtrair "2x" dos dois lados, assim ficaremos só no lado esquerdo, que envolve "x" e no lado direito apenas aqueles que não envolvem o "x". Organizando tudo aqui, do lado esquerdo vamos ficar com "y" menos 2, tudo vezes "x", já estou colocando "x" em evidência, deste lado, lembrando que meu objetivo é isolar "x", do lado direito, efetuando as subtrações "2x" menos "2x" cancelam, e -1 menos "3y" é o que eu vou ter aqui à direita da igualdade. Agora, para isolar "x" falta simplesmente dividir os dois lados por "y" menos 2, assim o "x" à esquerda da igualdade vai ficar sozinho. Finalmente, vamos ficar com o "x" igual -1 menos "3y" sobre "y" menos 2, e isso justamente define a função inversa de "g", o g⁻¹ de "y", estamos usando "y" como a variável independente agora neste momento. A expressão que calcula o valor da função envolve "y". Então se eu tomar um valor de "y" aqui no conjunto imagem, colocando-o nesta expressão, eu vou obter o mesmo "x" que estava no domínio que havia se relacionado com esse valor de "y". Bem, mas não estávamos procurando a função "g" inversa de "y", mas "g" inversa de "x". E para isso é importante que você se lembre de que, a variável que estamos usando aqui como entrada das funções, é escolhida arbitrariamente, por exemplo, eu posso escolher "y" para ser a variável independente, a variável de entrada na função e vamos obter a saída a partir dos valores de "y". Mas eu posso usar outra letra, como por exemplo, "a" e aí a expressão seria -1 menos "3a" sobre "a" menos 2. Para ficar mais claro, vou escrever aqui novamente : g⁻¹(y) igual a -1 menos "3y" sobre "y" menos 2. A escolha da variável independente é arbitrária, eu posso escolher o que for conveniente, e eu poderia, por exemplo, dizer que eu estou tratando com a função g⁻¹ de carinha feliz, posso colocar aqui no lugar do "y" uma carinha feliz, e eu teria g⁻¹ de carinha feliz igual a -1 menos 3 vezes a carinha feliz sobre carinha feliz menos 2. E finalmente, se eu quero g⁻¹ de "x", basta copiar a expressão usando "x" como entrada, então vou ter g⁻¹ de "x" igual -1 menos "3x", tudo sobre "x" menos 2. E aqui já estaríamos prontos. E agora você pode dizer isto é um pouco confuso, eu estava usando "y" como a variável e agora tenho "x", mas é para você se lembrar de que, o nome da variável é simplesmente um nome que escolhemos para ela, e podemos modificar convenientemente, à vontade, ou seja, a entrada pode ser "x", "y", carinha feliz, "a", "b", "c", "d", qualquer coisa que eu queira. Ou seja, agora a função que faz o caminho oposto ao que a função "g" fazia, é esta que está definida por esta expressão -1 menos "3x" sobre "x" menos 2. Uma maneira de pensar facilmente, é que agora que eu estou escrevendo "y" igual a g⁻¹ de "x" é perceber que eu simplesmente troquei do que eu tinha antes, os lugares das variáveis "x" e "y". Uma outra maneira de chegar até aqui é, logo ali no início, já trocar o "x" pelo "y" e o "y" pelo "x", e trabalhar para então isolar o "y". Você chegaria ao mesmo resultado que tivemos aqui. Vale a pena tentar. Refaça. Até o próximo vídeo.