Introdução a equações com raízes quadradas e soluções estranhas

RKA - Neste vídeo, vamos começar a ter algumas experiências da resolução de equações com radicais, ou, simplesmente, das equações que envolvem raiz quadrada; ou, talvez, até raízes de potências maiores. Esse tipo de equação é chamada de "equação irracional". Mas a gente também vai tentar entender um fenômeno interessante que ocorre quando fazemos essas equações. Vou mostrar sobre o que estou falando. Vamos supor que eu tenha a equação: raiz quadrada de "x" é igual a "2 ‧ (x) - 6". Uma coisa que vamos ver, sempre que fazemos essas equações radicais, é que queremos isolar, no mínimo, um dos radicais. Há apenas um deles nessa equação. Quando isolamos um dos radicais de um lado da equação, começa assim. A gente tem uma raiz quadrada de "x" isolada do lado esquerdo, então elevamos ao quadrado os dois lados da equação. Vou reescrever aqui. Vamos fazer isso devagar. Vou elevar ao quadrado e isso será igual a "(2x - 6)²". Elevar ao quadrado parece uma operação válida; se isso é igual a isso, então esse ao quadrado também deve ser igual àquele ao quadrado. Portanto, continuamos. Quando temos a raiz quadrada de "x" e elevamos isso ao quadrado, será "x"... temos "x" que é igual a...? Isso ao quadrado será: "(2x)²", que é "4x²" (é "2x" tudo ao quadrado = "4x²")... depois multiplicamos esses dois, que é "-12x"... será 2 vezes isso ("-24x")... "-6²" é +36. Se achou difícil chegar nisso partindo disso, talvez seja melhor rever multiplicação de expressões polinomiais, ou multiplicação de binômios, ou realmente o caso especial onde elevamos os binômios ao quadrado. Mas, basicamente, é isso ao quadrado, que fica assim; e a gente tem -2 vezes o produto desses dois. O produto desses dois é "-12x". 2 vezes isso é "-24x", e depois aquilo ao quadrado. É a isso que nossa equação, acho que podemos dizer, foi simplificada. E vamos ver o que acontece se subtrairmos "x" dos dois lados dessa equação. Se subtrairmos "x" dos dois lados, o lado esquerdo se torna zero e o lado direito se torna "4x² - 25x + 36". Portanto, essa equação irracional foi simplificada a uma equação quadrática comum. Apenas para simplificar, não devemos nos preocupar em como fatorar isso e agrupar tudo. Vamos apenas usar a fórmula de Bhaskara ou quadrática. A fórmula de Bhaskara nos fala que nossa solução para isso, "x" pode ser: "-b", então -25... o oposto de -25 é +25... mais ou menos a raiz quadrada de "25²"... "25²" é 625... menos 4 vezes "a", que é 4... vezes "c", que é 36... tudo sobre "2a" (2 vezes 4)... tudo sobre 8. Vamos pegar a calculadora para ver quanto dá isso. Temos: 625 menos... vejamos, será 16 vezes 36.... 16 vezes 36... é igual a 49. Que bom, é um belo quadrado perfeito. A gente sabe quanto é a raiz quadrada de 49 é 7. Vamos voltar ao problema. Isto simplificado para 49. "x" é igual a 25 mais ou menos a raiz quadrada de 49 (que é 7), tudo sobre 8. Nossas duas soluções aqui: se acrescentarmos 7, teremos "x" igual a "25 + 7"... é 32... 32 dividido por 8 é igual a 4. Daí, nossa outra solução... (vou fazer em cor diferente)... "x" é igual a "25 - 7", que é 18... dividido por 8... 8 cabe em 18 duas vezes, restam 2... portanto, é igual a "2 ²∕₈", ou "2 ¼", ou "2,25", dessa forma. Agora vou mostrar um fenômeno interessante que ocorre. Talvez vocês queiram fazer uma pausa depois de mostrar esse enigma, embora eu te diga por que esse enigma aparece. Vamos tentar ver se nossas soluções realmente funcionam. Digamos que "x = 4". Se "x = 4" funcionar, teremos a raiz quadrada de 4. Poderia ser igual a 2, vezes 4 menos 6. A raiz positiva de 4 é +2. +2 é igual a 2 vezes 4, que é 8... menos 6. É, isso é verdade. Portanto, 4 funciona. Agora, vamos tentar fazer o mesmo com "2,25". De acordo com isso, deveríamos poder tomar a raiz quadrada, a raiz positiva de... (deixa eu fazer meu radical um pouco maior)... a raiz principal de "2,25" deveria ser igual a 2 vezes "2,25" menos 6. Agora, podemos, ou não, fazer isso de cabeça: devemos saber que a raiz quadrada de 225 é 15. E a partir disso podemos calcular que a raiz quadrada de "2,25" é igual a "1,5". Vou usar a calculadora para conferir. "2,25"... tira a raiz quadrada, é "1,5". A raiz positiva é "1,5". Outra raiz quadrada é "-1,5". Então, de acordo com isso, deveria ser igual a 2 vezes "2,25", que é "4,5"... menos 6. Agora, isso é verdade? Isso diz que "1,5 = -1,5". Isso não é verdade. "2,5" não funciona para essa equação irracional. Chamamos isso de "solução estranha". "2,25" é uma solução estranha. Agora, aqui está o enigma: por que obtivemos "2,25" como resposta? Parece que fizemos coisas muito válidas em todo o caminho, e a gente teve uma quadrática, além de conseguir "2,25". Aqui vai uma dica: quando a gente substitui o "2,25", temos "1,5", que é igual a "-1,5"; portanto, há algo aqui, algo que fizemos, que nos deu essa solução que não se aplica aqui. Vou dar outra dica, vamos tentar nessa etapa. Se olharmos para esta etapa, vamos perceber que as duas soluções realmente funcionam. Podemos experimentar se quisermos. Na verdade, tente em seu tempo. Coloque "2,25" para "x" aqui e vai ver que funciona. Coloque "4x" aqui, e vai ver que os dois funcionam aqui. As duas soluções são válidas para isso. Algo aconteceu quando elevamos ao quadrado que tornou a equação um pouco diferente. Há alguma coisa ligeiramente diferente nesta equação em relação àquela equação. E a resposta é que há duas maneiras de refletir sobre isso. Para voltar desta equação para aquela equação, usamos a raiz quadrada; mas, para ser mais específico sobre isso, tomamos a raiz principal dos dois lados. Agora podemos tomar a raiz quadrada negativa também, observe: só estamos tomando a raiz quadrada principal, vindo a partir desse aqui. Eu vou ser bem claro: esta afirmação... já estabelecemos que as duas soluções, tanto a solução válida quanto a solução estranha para esta equação irracional satisfazem este caso. Somente as válidas correspondem ao problema original. Vou escrever a equação que as duas satisfazem, porque este é um enigma bem interessante, eu acho que nos dá um pouco de sutileza e pode dizer o que acontece quando tomamos a raiz quadrada positiva das coisas; porque, quando elevamos ao quadrado os dois lados, estamos de alguma forma perdendo ou ganhando alguma informação. Agora, isso pode ser escrito como "x = (2x - 6)²". Essa é uma interpretação válida desta equação aqui. Mas há uma outra interpretação totalmente legítima desta equação. Ela pode ser "x = (-1 ‧ (2x - 6))²". E por que essas interpretações são iguais? Porque, quando elevamos -1 ao quadrado, -1 desaparece. São afirmações equivalentes. E outra forma de escrever isso... (outra forma de escrever isso aqui)... é que "x" é igual a... multiplicamos -1 vezes isso, temos um "-2x + 6", ou "6 - 2x", ao quadrado. Isto e isto são duas formas de escrever aquilo. Agora, quando tomamos a nossa raiz quadrada, ou quando... há duas formas de refletir sobre isso... quando elevamos isto ao quadrado, estamos supondo que isso era somente interpretação, mas era outra coisa. Encontramos duas soluções para isso, mas somente 4 satisfaz esta interpretação aqui. Espero que tenham entendido o que eu quis dizer, porque estamos meio que só tomando... podemos imaginar a raiz quadrada positiva, não estamos considerando a raiz quadrada negativa disso, porque, quando tomamos a raiz quadrada dos dois lados para aqui, somente estamos tomando a raiz quadrada positiva. Outra forma de ver isso... (deixa eu reescrever a equação original)... temos que a "raiz quadrada de x" é igual a "2x - 6". Agora, dissemos que 4 é uma solução. "2,25" não é uma solução. "2,25" não seria uma solução se disséssemos que as duas "raízes quadradas de x" são iguais a "2x - 6". Agora vamos tentar, e "2,25" terá uma solução válida aqui. Se tomarmos a raiz quadrada negativa de "2,25", que é igual a 2 vezes "2,25", portanto, que é igual a "4,5 - 6", que é igual a "-1,5". Está certo. A versão positiva está em que "x = 4". É por isso que tivemos duas soluções, e, se elevarmos ao quadrado isso, talvez seja uma maneira mais fácil de lembrar. Se elevarmos ao quadrado isso, realmente teremos essa equação em que as duas soluções são válidas. Agora, vocês devem ter achado um pouco confuso e tudo; minha intenção não é confundi-los. A maneira mais simples de pensar quando estamos resolvendo equações irracionais é... olha... isolar radicais, elevar ao quadrado e continuar resolvendo. Podemos ter mais de uma resposta. Conecte suas respostas de novo. Respostas que não funcionam são respostas estranhas, mas a maioria das minhas explicações neste vídeo são pelo fato de por que as soluções estranhas aparecem. Espero que eu tenha dado uma ideia de que nossa equação é a raiz quadrada de "x". A solução estranha seria válida se tomássemos a raiz quadrada positiva ou negativa de "x", não só a raiz quadrada positiva.