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Construção de modelos exponenciais

Neste vídeo, modelamos o envio de uma corrente de e-mails usando uma função exponencial.

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Transcrição de vídeo

RKA19MC - Ronaldo enviou uma corrente de e-mail para seus amigos e solicitou que encaminhassem a outros amigos. O grupo de pessoas que recebe o e-mail aumenta 9 décimos em número a cada 3 semanas e pode ser modelado por uma função "P", que depende do tempo em semanas. Daí, esse é primeiro problema que nós vamos resolver. Ele está contando de 3 em 3, e vamos contar de uma em uma. Ronaldo inicialmente enviou a corrente para 40 amigos. Escreva uma função que modele o grupo de pessoas que recebe o e-mail em "t" semanas desde que Ronaldo enviou a corrente. Inicialmente, vamos ver o que significa aumentar 9 décimos. Esse vai ser o fator de Ronaldo. Ele aumenta 9 /10 a cada 3 semanas, ou seja, ele tem 1 + 9/10, ou seja, ele aumentou pelo fator de 1,9. E esse fator é o fator de 3 semanas. Não nos interessa muito esse fator de 3 semanas, pois nós queremos modelar semana a semana. Vamos colocar na tabela o modelo do Ronaldo de 3 em 3 semanas. Então, para o tempo zero, ele falou, ele mandou para 40 amigos. Então, tempo zero é 40 amigos. No tempo de 3 semanas, essas três semanas são o primeiro período do Ronaldo. Ou seja, você tem 40 vezes apenas 1,9 ou 1,9 elevado à 1ª. O fator dele é de 3 em 3 semanas multiplicado pelo fator de 1,9. Se for 6 semanas, seria o segundo período dele, ou seja, seria 40 vezes 1,9, que é a semana anterior, vezes 1,9 novamente, ou seja, você tem 40 vezes 1,9². e modelar dessa forma, se for de 3 em 3 semanas, fica bem fácil, pois já temos o fator e bastaria colocar o tempo e fazer a modelagem exponencial de 3 em 3 semanas. Mas, nós queremos de semana a semana, portanto, vamos fazer a tabela de semana a semana para ver como a gente pode passar de um modelo para outro. Você tem que o tempo zero vai ser 40, porque é comum a todo mundo. Depois, tem 1, 2, 3, o que você sabe é que na terceira semana o seu fator é 1,9. Tem que ser, porque tem que ser a mesma coisa que Ronaldo está fazendo. Nós vamos modelar semana a semana, mas o resultado tem que ser o mesmo do Ronaldo. Em 3 semanas, tem que dar a mesma coisa. Então, qual é o fator que você multiplicaria semana a semana para que, em 3 semanas, chegasse em 1,9? Você pega 40 e multiplica por 1,9 elevado a um terço. Se você pegar 1,9 elevado a 1/3 na primeira semana, na segunda semana, seria 40 vezes 1,9 elevado a 2/3. E, na terceira semana, seria 40 vezes 1,9 elevado a 3/3, que é 40 vezes 1,9. Ou seja, está condizente com o fato que está acontecendo lá com o Ronaldo. Nós apenas estamos modelando semana a semana. Como é que nós podemos já escrever um modelo? O modelo fica P(t) é igual a 40 vezes 1,9, mas nosso tempo é semanal, portanto, nós colocamos o "t" sobre 3 e, com isso, nós temos a modelagem semanal. Essa é a melhor representação Vamos ver outra, na qual calculamos qual é o fator que nós multiplicamos semana a semana. Semanalmente, nós multiplicamos por 1,9 elevado a um terço, ou seja, o nosso fator semanal é 1,9 elevado a 1/3. Nós podemos botar este 1/3 para dentro dos parênteses e botar o "t" semanal para fora dos parênteses. Ou seja, este é o nosso fator: 1,9 elevado a um terço. Então, temos 40 vezes... Quanto seria 1,9 elevado a 1/3 ou raiz cúbica de 1,9? Então, vamos calcular. Temos 1,9 elevado a 1/3, a raiz cúbica dá... dá 1,239. Se colocar mais casas decimais, dá 1,23856, vamos falar disso daqui a pouco. Vamos reduzir para duas casas decimais, 1,24. 1,24 é o nosso fator semanal. Se nós multiplicarmos 1,24 vezes 1,24, vezes 1,24, tem que chegar em 1,9, que é o fator de 3 semanas de Ronaldo. Esse é o fator de uma semana. Multiplicando por 1,24 e multiplicando por 1,24 novamente, nós vamos ter 1,9, ou seja, está batendo. Então, vamos colocar o nosso fator como sendo 1,24 elevado a "t". E este é nosso modelo semanal. Ressaltando que o melhor modelo que eu falei era o anterior, porque este fez um arredondamento e, quando você tem uma função exponencial, vai dar uma diferença grande no final. Mas este é o nosso modelo semanal.