Interpretação de mudanças em modelos exponenciais

RKA - No primeiro dia de primavera, todo um campo de árvores em flor desabrocha. A população de gafanhotos que consomem essas flores aumenta rapidamente, com o florescimento das árvores. A relação entre o tempo decorrido, tempo dado em dias, é muito importante a gente saber qual é a unidade que está sendo dado o tempo, desde o início da primavera, e o número total de gafanhotos dado por "L(t)" é modelada pela seguinte função: "L(t)" é igual a 750, que é um fator independente, multiplicado por 1,85 elevado a "t", isso significa que nós temos uma função exponencial, ou um modelo exponencial para representar o que está acontecendo com o número de gafanhotos. Complete a seguinte frase sobre a taxa diária de mudança da população de gafanhotos. Todos os dias, a população de gafanhotos aumenta/diminui por um fator de ____, ele quer saber qual é o fator multiplicativo, e se está aumentando ou diminuindo o número de gafanhotos. Bem, para analisarmos, vamos fazer uma tabela do tempo e função de "L(t)", que é o número de gafanhotos. No instante "0", no tempo "0", vamos ter, pelo nosso modelo, "L(t)" é 750 1,85 elevado a "0", que dá 1, então nós temos o próprio 750, então partimos do número 750. No próximo dia, nós vamos ter 750, pelo nosso modelo temos 1,85, agora esse 1,85 está sendo elevado a 1. Então temos 1,85 elevado à primeira potência. No nosso segundo dia, nós temos 750 vezes 1,85 elevado à segunda potência. O tempo é 2. Então já dá para você perceber que a cada dia está sendo multiplicado pelo mesmo fator, que é 1,85. Do primeiro, do início ao primeiro dia por 1,85, do primeiro para o segundo por 1,85 e assim sucessivamente. Como 1,85 é um número maior do que 1, significa que essa função exponencial é crescente, ou seja, o número de gafanhotos cresce de forma exponencial. Nós temos inicialmente 750 gafanhotos, mas está crescendo de maneira exponencial, por isso que é tão preocupante. Sempre que o fator for maior do que 1, ela vai ter uma função exponencial crescente, quando ela é toda positiva, ela vai ser uma função exponencial crescente. Então, nosso fator é de 1,85, e 1,85 representa 1 mais 0,85. É interessante a gente observar isso porque 1 é 100% é o que eu tinha e 0,85 é 85%, é o quanto eu ganhei, ou seja, você somar 85% a um número, é a mesma coisa de multiplicar por 1,85. Ou seja, quando você está somando, mês a mês, 85%, na realidade você está multiplicando todo mês por, pela taxa de 1,85. Então, você, no primeiro dia, tem o expoente igual a 1 e no segundo dia tem o expoente igual a 2 e assim sucessivamente. Sempre calculado pelo termo anterior, ou seja, é um crescimento exponencial de fator 1,85. Então, vamos para o próximo exercício. A Vera é uma ecologista que estuda a mudança na população de ursos na Sibéria ao longo do tempo. A relação entre o tempo decorrido "t", em anos, desde que Vera começou a estudar a população e o número total de ursos "N(t)", é modelada pela seguinte função: Nós temos "N(t)" igual a 2.187 vezes dois terços elevado a "t". Então, é a função exponencial e vamos ver qual é a pergunta. Complete a seguinte frase sobre a taxa de mudança na população de ursos. Todos os anos a população de ursos aumenta ou diminui por um fator de, veja que ele deu o tempo em anos e está perguntando todos os anos o que acontece, portanto, a gente não vai ter problema de unidade. Fazendo nossa tabela, nós temos o tempo de um lado e temos o "N(t)" do outro. Quando tempo é "0" nós vamos ter 2.187 vezes dois terços elevado a "0". Dois terços elevado a "0" é 1, ou seja, inicialmente nós temos 2.187 ursos. Então, partimos desse valor, 2.187. No primeiro ano, o que acontece com o número de ursos? No primeiro ano, nós vamos ter 2.187, e nosso fator multiplicativo vai ser dois terços elevado a 1. Ou seja, nós multiplicamos por dois terços o termo anterior. Para calcularmos no segundo ano, vamos multiplicar por dois terços novamente, ou seja, nós temos 2.187 vezes dois terços, vezes dois terços, que é dois terços elevado ao quadrado. Portanto, nós vemos que nosso fator multiplicativo é dois terços, e a cada ano ele vai aumentando o expoente gradativamente, porque ele é calculado baseado no ano anterior. Então, você pega o ano inicial e multiplica por dois terços, depois pega o ano anterior, multiplica por dois terços e assim sucessivamente. Como dois terços é um número menor do que 1, nós vamos ter uma função exponencial decrescente, ou seja, a preocupação da Vera é consistente, porque você tem 2.187 ursos, mas a população de ursos está caindo de forma exponencial, significa que, à medida em que o tempo passa, o número de ursos vai tendendo a "0", ou seja, vai tendendo à própria extinção. Então, como o nosso fator é de dois terços, vamos ter que: ele diminui, ou seja, no total de anos ele diminui, e o fator, obviamente, é de dois terços. Bem, vamos ver outra questão: Akiba começou a estudar a forma como o número de galhos de sua árvore muda ao longo do tempo. A relação entre o tempo decorrido, em anos, desde que Akiba começou a estudar sua árvore o número total de ramos, é "N(t)", é modelada pela seguinte função que está aqui embaixo: "N(t)" é igual a 42 vezes 1,75 elevado a "t". O tempo é dado em anos, e ele pergunta a taxa, o percentual anual. Todo ano, qual é o percentual dos galhos que são somados ou subtraídos do número total de ramos. Então, você tem que ter cuidado porque, embora a gente esteja somando percentualmente, na realidade se você soma percentualmente todo mês uma coisa, todo ano, você está multiplicando por uma determinada taxa. Então temos o tempo e o "N(t)", você tem o tempo igual a "0", temos 42 igual, temos "N(t)" igual a 42 vezes 1,75 elevado a "0", o que vai dar 42. Então, partimos do número 42. Quando temos um ano, vamos ter 42 vezes a taxa, que é 1,75, você agora já está se acostumando a ver a taxa diretamente, veja o vídeo anterior ou pelo menos a questão anterior, e elevado à primeira. No segundo ano, temos 42 vezes 1,75 elevado à segunda, então vemos que nossa taxa é de 1,75, ou seja, a cada ano multiplicamos o ano anterior por 1,75. Então, fica 1,75 à primeira, 1,75 à segunda, e assim sucessivamente a multiplicação do termo anterior. Como 1,75 é um número maior do que 1, significa que nossa função é crescente, é uma função exponencial crescente. Ele não quer saber o fator multiplicativo, ele quer saber o quanto ele aumentou percentualmente. Já sabemos que é uma função que aumenta com o tempo. Percentualmente falando, vamos pegar um número qualquer, 1,75 vezes qualquer montante que você tenha, "a", vamos chamar de "a". Então você tem: "a" vezes 1,75 é a mesma coisa de "a" vezes 1 mais 0,75. Ora, você pegar "a" vezes 1 mais 0,75 é a mesma coisa de pegar "a" vezes 100% mais 75%. 100% é 100 sobre 100, 75% é 75 sobre 100. Então, você multiplicar por 1,75 é a mesma coisa de pegar o montante que você tem e somar com 75% dele, ou seja, a cada ano ele está somando 75% do que ele tinha no ano anterior. Isso fica evidente se a gente verificar o que está acontecendo nessa nossa função. A gente partiu de 42, quando a gente multiplicou por 1,75, na realidade o que fizemos? Pegamos 42 e somamos 42 vezes 75%, ou seja, eu peguei o termo anterior e somei com 42 vezes 75%. Do primeiro para o segundo ano, eu já pego 42 vezes 1,75, que é o termo anterior, e somo com o termo anterior, que é 42 vezes 1,75 novamente, multiplicado por 75%. Ou seja, o termo posterior sempre é somado calculado tendo como base o termo anterior. Portanto, todo ano a soma do número de galhos é de 75%. É uma função exponencial e essa soma de 75% significa multiplicar por 1,75.