Resolução de equações exponenciais usando as propriedades dos expoentes (avançado)

RKA - Neste vídeo, vamos fazer duas equações exponenciais. A primeira, 32 elevado a X sobre 3 igual a 8 elevado a X menos 12. Vemos que os dois lados não estão na mesma base, mas os dois são potências de 2. Portanto, podemos escrever 32 como 2 elevado à quinta e 8 como 2 elevado à terceira. Escrevendo 2 elevado à quinta, ficamos com 2 elevado à quinta, elevado a X sobre 3 igual a 2 elevado à terceira, elevado a X menos 12. Quando você tem uma potência entre parênteses elevada a um expoente, você pode multiplicar os expoentes, então você pode abrir os parênteses, colocando 2 elevado a 5X sobre 3 é igual a 2 elevado a 3X menos 36. Como as duas bases agora são iguais, e a função exponencial é monotonamente crescente ou decrescente, significa que os expoentes são iguais também, então podemos igualar os expoentes, ou seja, 5X sobre 3 é igual a 3X menos 36, e temos uma equação do primeiro grau que podemos resolver. Multiplicando ambos os lados por 3, nós vamos ter 5X sobre 3 vezes 3 e menos 3X menos 36 vezes 3. Vamos ter, então, 5X. O 3 cancela com 3, vamos ter apenas 5X igual a 9X menos 36 vezes 3, igual a 108. Subtraindo 5X de ambos os lados, nós vamos ter 5X menos 5X igual a 0 e 9X menos 108 igual a 4X menos 108. Agora colocamos como 4X menos 108 é igual a zero, vamos colocar dessa forma para ficar bem melhor a visualização. Temos 4X igual a 108. 4X sendo igual a 108, X igual a 108 sobre 4. X é igual a 27, ou seja, a nossa resposta é X é igual a 27 para a equação exponencial que acabamos de ver. Vamos ver outro exemplo da equação exponencial. Neste temos uma fração. No numerador temos 5 elevado a 4X mais 3 sobre 25 elevado a 9 menos X é igual a 5 elevado a 2X mais 5. Não temos todos na mesma base, mas sabemos que 25 é a potência de 5, então podemos escrever 25 como 5 ao quadrado. Então, vamos repetir todo o resto e escrever 25 como 5 ao quadrado. Temos 5 elevado a 4X mais 3, dividido por 5 ao quadrado elevado a 9 menos X. Isso vai ser igual a... Ops, 9 menos X... isso vai ser igual a 5 elevado a 2X mais 5. Vamos abrir o parêntese agora, vamos fazer 5 elevado a 4X mais 3 sobre 5 elevado a 18 menos 2X. Como nós temos uma fração, nós podemos repetir a base e subtrair os expoentes. Então vamos fazer isso para a fração que temos aqui do lado esquerdo. Vamos ficar com 5 elevado a 4X mais 3 menos 18 menos 2X. Isso é igual a 5 elevado a 2X mais 5. Vamos abrir o parêntese agora, e ficamos com 5... Estando na mesma base, vamos igualar logo os expoentes. Então temos 4X mais 3 menos 18 menos 2X igual a 2X mais 5. Pronto! Agora vamos resolver a equação de primeiro grau. 4X mais 3 menos 18. Menos com menos dá mais, então mais 2X igual a 2X mais 5. Este 2X eu posso cancelar com esse 2X. 2X do lado direito e 2X do lado esquerdo. E vamos ter... Então temos 6X menos 15 igual a 2X mais 5. Subtraindo 2X de ambos os lados, e subtraindo 5 de ambos os lados, nós vamos ter... O 2X cancela com o 2X, o 5 cancela com o 5. O 2X cancela com o menos 2X. O 5 cancela com o menos 5. Nesse lado de cá vamos ter 4X menos 20 igual a zero. 4X igual a 20, e 20 sobre 4, ou seja, vamos ter a solução da nossa equação exponencial X igual a 5.