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Álgebra intermediária (parte 2)

Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 8

Lição 4: A fórmula da mudança de base para logaritmos
Matemática
Álgebra intermediária (parte 2)
Logaritmos
A fórmula da mudança de base para logaritmos
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Introdução à regra da mudança de base do logaritmo

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Aprenda a reescrever qualquer logaritmo usando logaritmos de bases diferentes. Isso é muito útil para calcular logaritmos na calculadora!
Suponha que queiramos calcular o valor da expressão log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis. Como 50 não é uma potência racional de 2, é difícil fazer esse cálculo sem uma calculadora.
Contudo, a maioria das calculadoras só calcula diretamente logaritmos na base 10 e na base e. Assim, para calcular o valor de log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, primeiro precisamos mudar a base do logaritmo.

Regra da mudança de base

Podemos mudar a base de qualquer logaritmo usando a seguinte regra:
Observações:
  • Quando usamos essa propriedade, você pode escolher mudar o logaritmo para qualquer base start color #0d923f, x, end color #0d923f.
  • Como sempre, os argumentos dos logaritmos devem ser positivos e as bases devem ser positivas e diferentes de 1 para que essa propriedade seja válida!

Exemplo: como calcular log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis

Se seu objetivo é encontrar o valor de um logaritmo, mude a base para 10 ou e, já que esses logaritmos podem ser calculados na maioria das calculadoras.
Então, vamos mudar a base de log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis para start color #1fab54, 10, end color #1fab54.
Para fazer isso, aplicamos a regra da mudança de base com b, equals, 2, a, equals, 50, e x, equals, 10.
log⁡2(50)=log⁡10(50)log⁡10(2)Regra da mudança de base=log⁡(50)log⁡(2)Comolog⁡10(x)=log⁡(x)\begin{aligned}\log_\blueD{2}(\purpleC{50})&=\dfrac{\log_{\greenD{10}}(\purpleC{50})}{\log_{\greenD{10}}(\blueD2)} &&{\gray{\text{Regra da mudança de base}}} \\\\ &=\dfrac{\log(50)}{\log(2)} &&{\gray{\text{Como} \log_{10}(x)=\log(x)}} \end{aligned}
Agora, podemos encontrar o valor usando a calculadora.
start fraction, log, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction, approximately equals, 5, comma, 644

Teste seu conhecimento

Problema 1
Calcule log, start base, 3, end base, left parenthesis, 20, right parenthesis.
Arredonde sua resposta para a terceira casa decimal.
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 2
Calcule log, start base, 7, end base, left parenthesis, 400, right parenthesis.
Arredonde sua resposta para a terceira casa decimal.
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 3
Calcule log, start base, 4, end base, left parenthesis, 0, comma, 3, right parenthesis.
Arredonde sua resposta para a terceira casa decimal.
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Justificativa da regra da mudança de base

Nesse ponto, você deve estar pensando, "ótimo, mas por que essa regra funciona?"
log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, start fraction, log, start base, x, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, divided by, log, start base, x, end base, left parenthesis, b, right parenthesis, end fraction
Vamos começar com um exemplo concreto. Usando o exemplo acima, queremos mostrar que log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, start fraction, log, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction.
Vamos usar n para denotar log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis. Em outras palavras, temos log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, n. A partir da definição de logaritmos, temos que 2, start superscript, n, end superscript, equals, 50. Agora podemos realizar uma sequência de operações nos dois lados dessa equação para que a igualdade seja mantida:
2n=50log⁡(2n)=log⁡(50)Se A=B, enta˜olog⁡(A)=log⁡(B)nlog⁡(2)=log⁡(50)Regra da poteˆncian=log⁡(50)log⁡(2)Divida os dois lados porlog⁡(2)\begin{aligned} 2^n &= 50 \\\\ \log(2^n) &= \log(50)&&{\gray{\text{Se }A=B\text{, então}\log(A)=\log(B)}} \\\\ n\log(2)&=\log(50)&&{\gray{\text{Regra da potência}}} \\\\ n &= \dfrac{\log(50)}{\log(2)} &&{\gray{\text{Divida os dois lados por} \log(2)}} \end{aligned}
Já que n foi definido como log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, temos que log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, start fraction, log, start base, x, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, start base, x, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction, como esperado!
Pela mesma lógica, podemos provar a regra da mudança de base. Basta substituir 2 por b, 50 por a e escolher qualquer base x como a nova base e você terá a sua prova!

Desafios

Desafio 1
Calcule start fraction, log, left parenthesis, 81, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 3, right parenthesis, end fraction sem usar uma calculadora.
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Desafio 2
Qual expressão equivale a log, left parenthesis, 6, right parenthesis, dot, log, start base, 6, end base, left parenthesis, a, right parenthesis?
Escolha 1 resposta:

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