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Álgebra intermediária (parte 2)
Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 8
Lição 1: Introdução aos logaritmos- Introdução aos logaritmos
- Introdução aos logaritmos
- Cálculo de logaritmos
- Cálculo de logaritmos (avançado)
- Cálculo de logaritmos (avançado)
- A relação entre exponenciais e logaritmos
- Relação entre funções exponenciais e logaritmos: gráficos
- Relação entre funções exponenciais e logaritmos: tabelas
- A relação entre exponenciais e logaritmos
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Introdução aos logaritmos
Aprenda o que são logaritmos e como calculá-los.
Que conceitos você deve conhecer antes de iniciar essa lição
Você deve estar familiarizado com expoentes e, preferencialmente, com expoentes negativos.
O que você vai aprender nessa lição
Você aprenderá o que são logaritmos e saberá como calcular alguns logaritmos básicos. Isso vai prepará-lo para seu trabalho futuro com expressões e funções logarítmicas.
O que é um logaritmo?
Logaritmos são uma outra forma de pensar em expoentes.
Por exemplo, sabemos que start color #11accd, 2, end color #11accd elevado a start color #0d923f, 4, end color #0d923f, start superscript, start text, a, end text, end superscript potência é igual a start color #e07d10, 16, end color #e07d10. Isso é expressado pela equação exponencial start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10.
Agora, suponha que alguém nos tenha perguntado, "start color #11accd, 2, end color #11accd elevado a qual potência é igual a start color #e07d10, 16, end color #e07d10"? A resposta seria start color #0d923f, 4, end color #0d923f. Isso é expresso pela equação logarítmica log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, lida como "log de dezesseis na base dois é igual a quatro".
Ambas as equações descrevem a mesma relação entre os números start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #0d923f, 4, end color #0d923f e start color #e07d10, 16, end color #e07d10, em que start color #11accd, 2, end color #11accd é a base e start color #0d923f, 4, end color #0d923f é o expoente.
A diferença é que, enquanto a forma exponencial isola a potência, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, a forma logarítmica isola o expoente, start color #1fab54, 4, end color #1fab54.
Temos aqui mais exemplos de equações logarítmicas e exponenciais equivalente.
| Forma logarítmica | Forma exponencial | |
|---|---|---|
| log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54 | \Longleftrightarrow | start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10 |
| log, start base, start color #11accd, 3, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 81, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54 | \Longleftrightarrow | start color #11accd, 3, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 81, end color #e07d10 |
| log, start base, start color #11accd, 5, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 25, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54 | \Longleftrightarrow | start color #11accd, 5, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 25, end color #e07d10 |
Definição de logaritmo
Generalizar os exemplos acima leva à definição formal de um logaritmo.
As duas equações descrevem a mesma relação entre start color #e07d10, a, end color #e07d10, start color #11accd, b, end color #11accd e start color #0d923f, c, end color #0d923f:
- start color #11accd, b, end color #11accd é a start color #11accd, start text, b, a, s, e, end text, end color #11accd,
- start color #0d923f, c, end color #0d923f é o start color #0d923f, start text, e, x, p, o, e, n, t, e, end text, end color #0d923f, e
- start color #e07d10, a, end color #e07d10 é chamado de start color #e07d10, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, o, end text, end color #e07d10.
Uma observação útil
Quando reescrevemos uma equação exponencial em forma de log, ou uma equação logarítmica na forma exponencial, é importante lembrar que a base do logaritmo é igual à base do expoente.
Teste seu conhecimento
Nos problemas a seguir, você vai fazer a conversão entre as formas exponencial e logarítmica das equações.
Cálculo de logaritmos
Ótimo! Agora que compreendemos a relação entre expoentes e logaritmos, vamos ver se conseguimos calcular os logaritmos.
Por exemplo, vamos calcular log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis.
Vamos começar igualando essa expressão a x.
Escrevendo isso como uma equação exponencial, temos o seguinte:
4 elevado a qual potência é 64? Bem, start color #11accd, 4, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, então log, start base, start color #11accd, 4, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54.
Conforme você vai adquirindo mais prática, você pode se ver resumindo algumas dessas etapas e calculando log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis apenas se perguntando: "4 elevado a qual potência é igual 64?"
Teste seu conhecimento
Lembre-se, quando você calcula log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis, você pode se perguntar: "start color #11accd, b, end color #11accd elevado a que potência é start color #e07d10, a, end color #e07d10?"
Restrições em variáveis
log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis é definido quando a base b é positiva—e diferente de 1—e o argumento a é positivo. Essas restrições são um resultado da conexão entre logaritmos e expoentes.
| Restrição | Raciocínio |
|---|---|
| b, is greater than, 0 | Em uma função exponencial, a base b é sempre definida como positiva. |
| a, is greater than, 0 | log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, c significa que b, start superscript, c, end superscript, equals, a. Como um número positivo elevado a qualquer potência é positivo, ou seja b, start superscript, c, end superscript, is greater than, 0, então a, is greater than, 0. |
| b, does not equal, 1 | Suponha por um momento que b pudesse ser 1. Agora, considere a equação log, start base, 1, end base, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, x. A forma exponencial equivalente seria 1, start superscript, x, end superscript, equals, 3. Mas isso não pode ser verdadeiro nunca, pois 1 elevado a qualquer potência é sempre 1. Portanto, b, does not equal, 1. |
Logaritmos especiais
Embora a base de um logaritmo possa ter vários valores diferentes, há duas bases que são usadas com mais frequência do que outras.
De maneira específica, a maioria das calculadoras só tem botões para esses dois tipos de logaritmos. Vamos ver quais são.
O logaritmo comum
O logaritmo comum é um logaritmo cuja base é 10 ("logaritmo de base 10").
Ao escrever esses logaritmos matematicamente, nós omitimos a base. Entende-se que ela é igual a 10.
O logaritmo natural
O logaritmo natural é um algoritmo cuja base é o número e ("logaritmo de base e").
Em vez de escrever a base como e, indicamos o logaritmo com natural log.
Esta tabela resume o que precisamos saber sobre esses dois logaritmos especiais:
| Nome | Base | Notação regular | Notação especial |
|---|---|---|---|
| Logaritmo comum | 10 | log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesis | log, left parenthesis, x, right parenthesis |
| Logaritmo natural | e | log, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesis | natural log, left parenthesis, x, right parenthesis |
Embora a notação seja diferente, a ideia por trás do cálculo do logaritmo é exatamente a mesma!
Por que estamos estudando logaritmos?
Como você acabou de aprender, os logaritmos invertem os expoentes. Por isso, eles são muito úteis na resolução de equações exponenciais.
Por exemplo, o resultado de 2, start superscript, x, end superscript, equals, 5 pode ser dado na forma de logaritmo, x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis. Você aprenderá a calcular essa expressão logarítmica nas próximas lições.
As expressões e funções logarítmicas também acabam sendo muito interessantes por sua vez e, na realidade, são muito comuns no mundo à nossa volta. Por exemplo, diversos fenômenos físicos são medidos com escalas logarítmicas.
E agora?
Saiba mais sobre as propriedades dos logaritmos que nos ajudam a reescrever expressões logarítmicas e sobre a regra da mudança de base, que nos permite calcular qualquer logaritmo que quisermos usando a calculadora.
Quer participar da conversa?
May it have a paragraph explaining about exponential fraction, with negative and positive signs?(20 votos)
Exponential fractions are fractions where the numerator, denominator, or both are raised to a power. For example,(2/3)^4is an exponential fraction where the entire fraction is raised to the power of 4. Similarly,2^(1/3)is an exponential fraction where the numerator is raised to the power of 1/3.
When dealing with exponential fractions with negative exponents, it's important to remember that a negative exponent indicates the reciprocal of the base raised to the corresponding positive exponent. For example,2^(-3)is equivalent to1/(2^3), or1/8. Similarly,(2/3)^(-4)is equivalent to1/((2/3)^4), or(3/2)^4.
When dealing with exponential fractions with positive exponents, it's important to remember that a positive exponent indicates repeated multiplication of the base. For example,2^3is equivalent to2 * 2 * 2, or8. Similarly,(2/3)^4is equivalent to(2/3) * (2/3) * (2/3) * (2/3), or16/81.
I hope this helps explain exponential fractions with negative and positive signs! 😊 brazil.(1 voto)
sobre a questão do desafio log3 1/9, como descubro o resultado -2?(7 votos)
Uma das regras de potência diz que quando o expoente é negativo inverte-se a base e muda o sinal do expoente para toná-lo positivo. Neste caso, você vai fazer o processo inverso, mudando o sinal do expoente que ficará negativo. Então (1/9) <=> (1/3²). Invertendo a base o expoente muda de sinal 3^{-2}.(21 votos)
como calcular números como log0,333 1/3 = X(0 votos)
0,333 é igual a 1/3, Então você ta calculando o log de 1/3 na base 1/3
Se elevarmos 1/3 a primeira potência, teremos o próprio 1/3, então a resposta é 1.
A dica é: sempre que você tiver numeros decimais no logaritmando ou na base, transforme-os em frações, fica bem mais facil de trabalhar.(21 votos)
- Só fiquei curioso pra saber qual o expoente de 2 dá 5?(1 voto)
- Não existe um expoente de 2 que dê 5. Isso porque 2 elevado a qualquer número inteiro sempre resultará em um número par, enquanto 5 é um número ímpar. No entanto, existe um expoente de 2 que dá um número próximo de 5, que é
log₂(5), mas esse número não é um número inteiro. Espero ter ajudado! 😊(2 votos)
como resolver equações de log(1 voto)- Para resolver equações de logaritmo, é importante lembrar das propriedades dos logaritmos e das regras de exponenciação. Aqui estão algumas etapas que podem ajudá-lo a resolver equações de logaritmo:
1. *Simplifique a equação*: Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a equação o máximo possível. Por exemplo, use a propriedade do produtolog_b(x * y) = log_b(x) + log_b(y)para expandir termos logarítmicos.
2. *Isole o termo logarítmico*: Tente isolar o termo logarítmico em um lado da equação e todos os outros termos no outro lado.
3. *Elimine o logaritmo*: Se você conseguiu isolar o termo logarítmico, pode eliminar o logaritmo aplicando a definição de logaritmo: seb^x = y, entãolog_b(y) = x. Isso permitirá que você resolva a equação para a variável desconhecida.
4. *Verifique sua resposta*: Sempre verifique sua resposta substituindo-a na equação original para garantir que ela seja válida.
Lembre-se de que nem todas as equações de logaritmo têm soluções e algumas podem ter mais de uma solução. É importante verificar todas as soluções possíveis para garantir que elas sejam válidas. Espero ter ajudado! 😊(1 voto)
como resolver equações de log(1 voto)
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