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Introdução aos logaritmos

Neste vídeo, explicamos o que são e damos alguns exemplos de cálculo de logaritmos. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA - Vamos aprender algo sobre o maravilhoso mundo dos logaritmos. A gente já sabe como calcular potências. Se eu dissesse: 2 elevado a 4ª potência, o que significaria isso? Significa 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2, ou a multiplicação de 2 por ele mesmo 4 vezes. Vai ser: 2 vezes 2 é 4, vezes 2 é 8, vezes 2 é 16. Mas e se pensar de outra forma? Sabemos que chegamos a 16 quando aumentamos 2 a uma dada potência. Queremos saber qual é essa potência. Por exemplo, digamos que começo com 2 e digo que vou elevá-lo a alguma potência, qual deverá ser essa potência para chegar a 16? A gente acaba de resolver. "x" teria que ser 4. E é basicamente isso que são os logaritmos, descobrir a potência a qual você deve elevar uma base para chegar a outro número. Agora, a forma de denotar isso através de afirmações logarítmicas, é que diria "log na base"... Na verdade, eu vou esclarecer com um pouco mais de cor. Log na base 2. Vou usar o 2 em azul. Log na base 2 de 16 é igual a x. Nesse caso, é igual a um número desconhecido. Essas afirmações são totalmente equivalentes. Isto é dizer: Espera aí! Se elevar 2 a alguma potência x, chego a 16. E a que potência tenho que elevar 2 para chegar a 16? Vou estabelecer que seria igual a x, e você diria que tem que elevar a 4ª potência. Mais uma vez, "x" é igual a 4. A gente já resolve, e vamos fazer mais alguns exemplos de cálculos de expressões logarítmicas. Digamos que tenha... Log de 81 na base 3. Na base 3... Qual seria a potência a que devemos elevar 36 para obtermos 81? Só um lembrete: a qual potência tem que elevar 3 para chegar a 81? Se quiser, poderia estabelecer como sendo igual a x, e pode reafirmar esta equação com 3 elevado à potência x igual a 81. Por que o logaritmo é útil? Mais adiante, verá que tem propriedades muito interessantes, mas não precisou usar álgebra para fazer dessa forma e dizer que "x" é a potência a qual eleva 3 para chegar a 81. Você teve que usar a álgebra aqui. Com apenas uma expressão logarítmica direta, realmente, não teve que usar a álgebra. Não tivemos que estabelecer que era igual a x. A gente poderia simplesmente perguntar a qual potência preciso elevar 3 para chegar a 81. A qual a potência deve elevar 3 para chegar a 81? Vamos experimentar um pouco. 3 a 1ª potência é apenas 3, a 2ª é 9, a 3ª é 27, 3 a 4ª potência, 27 vezes 3 é igual a 81. 3 à 4ª potência é igual a 81, "x" é igual a 4. Dá para falar que log na base 3 de 81 é igual a 4. Vamos fazer mais alguns desses exemplos. Realmente incentiva a tentar fazer sozinho agora que a gente... Eu espero que você pegue o jeito. Vamos tentar com um número um pouco maior. Digamos que queremos o log na base 6 de 216. Quanto será isso? Estamos nos perguntando a qual potência tem que elevar 6 para chegar a 216. 6 a 1ª potência é 6, a 2ª potência é 36. 36 vezes 6 é 216. Isto é igual a 216. Isto é 6 a 3ª potência, que é igual a 216. Então, se alguém diz: a qual potência devemos elevar 6, esta base, para chegar a 216? Vai ser igual a 3. 6 a 3ª potência é igual a 216. Mais um. Digamos que eu tenha log na base 2 de 64. Quanto será isso? Mais uma vez, estamos nos perguntando a qual expoente terei que elevar esta base. E você faz com este pequeno subscrito, o expoente ao qual tenho que elevar 2 para chegar a 64. 2 a 1ª potência é 2, a 2ª é 4, 8, 16, 32, 64. Então, é 2 a 6ª potência igual a 64. E quando calcular essa expressão, vai falar: a qual potência tenho que elevar 2 para chegar a 64? Tenho que elevá-lo a 6ª potência. Vamos fazer um que é um pouco mais fácil. Ou talvez seja menos fácil dependendo de como visualizar. Qual é o log na base 100 de 1? Pense nisso por um segundo. É 1. Então, 100 e 1 subscrito de... É o log na base 100 de 1. E poderia colocar um parênteses em volta do 1. Qual é o valor disso? Aqui estamos nos perguntando a que potência tenho que elevar 100 para chegar a 1. Vamos escrever como uma equação. Se estabelecer como igual a x, é dizer literalmente: 100 a qual à potência é igual a 1? Qualquer coisa elevado à potência zero é igual a 1. Nesse caso, "x" é igual a zero, então log na base 100 de 1 é igual a zero. Log em qualquer base de 1 será igual a zero, pois qualquer coisa elevado à potência zero... Nós estamos falando de zero aqui. Qualquer coisa à potência zero, que não é zero será igual a 1.