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Álgebra intermediária (parte 2)

Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 8

Lição 3: Propriedades dos logaritmos
Matemática
Álgebra intermediária (parte 2)
Logaritmos
Propriedades dos logaritmos
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Justificação das propriedades de logaritmo

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Estude as provas das propriedades logarítmicas: a regra do produto, a regra do quociente e a regra da potência.
Nessa lição, vamos provar três propriedades logarítmicas: a regra do produto, a regra do quociente e a regra da potência. Antes de começar, vamos lembrar-nos de um fato importante que vai nos ajudar ao longo do caminho.
log, start base, b, end base, left parenthesis, b, start superscript, c, end superscript, right parenthesis, equals, c
Em outras palavras, um logaritmo na base b inverte o efeito de uma potência na base b!
Tenha isso em mente ao ler as provas a seguir.

Regra do produto: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Vamos começar provando um caso específico da regra — quando M, equals, 4, N, equals, 8, e b, equals, 2.
Substituindo esses valores em log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, temos:
log⁡2(4⋅8)=log⁡2(22⋅23)22=4 e 23=8=log⁡2(22+3)am⋅an=am+n=2+3log⁡b(bc)=c=log⁡2(4)+log⁡2(8)Como 2=log⁡2(4) e 3=log⁡2(8)\begin{aligned}\log_2({4\cdot 8})&=\log_2(2^2\cdot 2^3)&&\small{\gray{2^2=4\text{ e } 2^3=8}}\\ \\ &=\log_2(2^{2+3})&&\small{\gray{\text{$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$}}}\\ \\ &=2+3&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_2(4)+\log_2(8)&&\small{\gray{\text{Como $2=\log_2(4)$ e $3=\log_2(8)$}}}\\ \end{aligned}
Então, temos que log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, dot, 8, right parenthesis, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis.
Embora isso confirme apenas um caso, podemos seguir essa lógica para provar a regra do produto em casos gerais.
Observe que escrever 4 e 8 como potências de 2 foi fundamental para a prova. Então, em geral, queremos que M e N sejam potências de base b. Para isso, podemos fazer M, equals, b, start superscript, x, end superscript e N, equals, b, start superscript, y, end superscript para alguns números reais x e y.
Então, por definição, também é verdade que log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x e log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis, equals, y.
Agora, temos:
log⁡b(MN)=log⁡b(bx⋅by)Substituiça˜o=log⁡b(bx+y)Propriedades de expoentes=x+ylog⁡b(bc)=c=log⁡b(M)+log⁡b(N)Substituiça˜o\begin{aligned}\log_b(MN)&=\log_b(b^x\cdot b^y)&&\small{\gray{\text{Substituição}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x+y})&&\small{\gray{\text{Propriedades de expoentes}}}\\ \\ &=x+y&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}} \\\\ &=\log_b(M)+\log_b(N)&&\small{\gray{\text{Substituição}}} \end{aligned}

Regra do quociente: log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

A prova dessa propriedade segue um método similar ao usado acima.
Novamente, se M, equals, b, start superscript, x, end superscript e N, equals, b, start superscript, y, end superscript, então temos que log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x e log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis, equals, y.
Agora, podemos provar a regra do quociente da seguinte forma:
log⁡b(MN)=log⁡b(bxby)Substituiça˜o=log⁡b(bx−y)Propriedades de expoentes=x−ylog⁡b(bc)=c=log⁡b(M)−log⁡b(N)Substituiça˜o\begin{aligned}\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)&=\log_b\left(\dfrac{b^x}{ b^y}\right)&&\small{\gray{\text{Substituição}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x-y})&&\small{\gray{\text{Propriedades de expoentes}}}\\ \\ &=x-y&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)-\log_b(N)&&\small{\gray{\text{Substituição}}} \end{aligned}

Regra da potência: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis

Dessa vez, apenas M está envolvido na propriedade, e ele é suficiente para que M, equals, b, start superscript, x, end superscript, o que nos dá log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x.
A prova da regra da potência é mostrada abaixo.
log⁡b(Mp)=log⁡b((bx)p)Substituiça˜o=log⁡b(bxp)Propriedades de expoentes=xplog⁡b(bc)=c=log⁡b(M)⋅pSubstituiça˜o=p⋅log⁡b(M)A multiplicaça˜o eˊ comutativa\begin{aligned}\log_b\left(M^p\right)&=\log_b(\left({b^x}\right)^p)&&\small{\gray{\text{Substituição}}}\\ \\ &=\log_b(b^{xp})&&\small{\gray{\text{Propriedades de expoentes}}}\\ \\ &=xp&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)\cdot p&&\small{\gray{\text{Substituição}}}\\ \\ &=p\cdot \log_b(M)&&\small{\gray{\text{A multiplicação é comutativa}}} \end{aligned}
Como alternativa, podemos justificar essa propriedade usando a regra do produto.
Por exemplo, sabemos que log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, dot, M, dot, point, point, point, dot, M, right parenthesis, sendo M por ele mesmo p vezes.
Agora, podemos usar a regra do produto junto com a definição de multiplicação como uma soma repetitiva para completar a prova. Isso é mostrado abaixo.
log⁡b(Mp)=log⁡b(M⋅M⋅...⋅M)Definiça˜o de expoentes=log⁡b(M)+log⁡b(M)+...+log⁡b(M)Regra do produto=p⋅log⁡b(M)Soma repetida eˊ multiplicaça˜o\begin{aligned} \log_b(M^p) &=\log_b(M\cdot M\cdot ...\cdot M)&&\small{\gray{\text{Definição de expoentes}}}\\ \\ &= \log_b(M)+\log_b(M)+...+\log_b(M)&& \small{\gray{\text{Regra do produto}}}\\\\ &= p\cdot \log_b(M) &&\small{\gray{\text{Soma repetida é multiplicação}}}\end{aligned}
Pronto! Acabamos de provar as três propriedades logarítmicas!

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  • Avatar blobby green style do usuário araujodia38
    Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “No log2 (4.8) ...” de araujodia38
    No log2 (4.8)

    Eu poderia fazer log2(2^2.2^3)
    E no fim daria 5 o resultado do por, fazendo as operações logaritmicass.... Estaria correto dessa forma ?
    (6 votos)
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