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Álgebra intermediária (parte 2)
Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 8
Lição 3: Propriedades dos logaritmos- Introdução às propriedades dos logaritmos (1 de 2)
- Introdução às propriedades dos logaritmos (2 de 2)
- Introdução a propriedades dos logaritmos
- Como usar a regra do produto de logaritmos
- Como usar a propriedade da potência do logaritmo
- Use as propriedades dos logaritmos
- Como usar as propriedades dos logaritmos: várias etapas
- Prova da propriedade do produto de logaritmos
- Prova das propriedades do quociente do logaritmo e da potência do logaritmo
- Justificação das propriedades de logaritmo
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Justificação das propriedades de logaritmo
Estude as provas das propriedades logarítmicas: a regra do produto, a regra do quociente e a regra da potência.
Nessa lição, vamos provar três propriedades logarítmicas: a regra do produto, a regra do quociente e a regra da potência. Antes de começar, vamos lembrar-nos de um fato importante que vai nos ajudar ao longo do caminho.
Em outras palavras, um logaritmo na base b inverte o efeito de uma potência na base b!
Tenha isso em mente ao ler as provas a seguir.
Regra do produto: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
Vamos começar provando um caso específico da regra — quando M, equals, 4, N, equals, 8, e b, equals, 2.
Substituindo esses valores em log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, temos:
Então, temos que log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, dot, 8, right parenthesis, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis.
Embora isso confirme apenas um caso, podemos seguir essa lógica para provar a regra do produto em casos gerais.
Observe que escrever 4 e 8 como potências de 2 foi fundamental para a prova. Então, em geral, queremos que M e N sejam potências de base b. Para isso, podemos fazer M, equals, b, start superscript, x, end superscript e N, equals, b, start superscript, y, end superscript para alguns números reais x e y.
Então, por definição, também é verdade que log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x e log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis, equals, y.
Agora, temos:
Regra do quociente: log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
A prova dessa propriedade segue um método similar ao usado acima.
Novamente, se M, equals, b, start superscript, x, end superscript e N, equals, b, start superscript, y, end superscript, então temos que log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x e log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis, equals, y.
Agora, podemos provar a regra do quociente da seguinte forma:
Regra da potência: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis
Dessa vez, apenas M está envolvido na propriedade, e ele é suficiente para que M, equals, b, start superscript, x, end superscript, o que nos dá log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x.
A prova da regra da potência é mostrada abaixo.
Como alternativa, podemos justificar essa propriedade usando a regra do produto.
Por exemplo, sabemos que log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, dot, M, dot, point, point, point, dot, M, right parenthesis, sendo M por ele mesmo p vezes.
Agora, podemos usar a regra do produto junto com a definição de multiplicação como uma soma repetitiva para completar a prova. Isso é mostrado abaixo.
Pronto! Acabamos de provar as três propriedades logarítmicas!
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- No log2 (4.8)
Eu poderia fazer log2(2^2.2^3)
E no fim daria 5 o resultado do por, fazendo as operações logaritmicass.... Estaria correto dessa forma ?(6 votos)