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Álgebra intermediária (parte 2)
Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 8
Lição 3: Propriedades dos logaritmos- Introdução às propriedades dos logaritmos (1 de 2)
- Introdução às propriedades dos logaritmos (2 de 2)
- Introdução a propriedades dos logaritmos
- Como usar a regra do produto de logaritmos
- Como usar a propriedade da potência do logaritmo
- Use as propriedades dos logaritmos
- Como usar as propriedades dos logaritmos: várias etapas
- Prova da propriedade do produto de logaritmos
- Prova das propriedades do quociente do logaritmo e da potência do logaritmo
- Justificação das propriedades de logaritmo
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Justificação das propriedades de logaritmo
Estude as provas das propriedades logarítmicas: a regra do produto, a regra do quociente e a regra da potência.
Nessa lição, vamos provar três propriedades logarítmicas: a regra do produto, a regra do quociente e a regra da potência. Antes de começar, vamos lembrar-nos de um fato importante que vai nos ajudar ao longo do caminho.
Em outras palavras, um logaritmo na base inverte o efeito de uma potência na base !
Tenha isso em mente ao ler as provas a seguir.
Regra do produto:
Vamos começar provando um caso específico da regra — quando , , e .
Substituindo esses valores em , temos:
Então, temos que .
Embora isso confirme apenas um caso, podemos seguir essa lógica para provar a regra do produto em casos gerais.
Observe que escrever e como potências de foi fundamental para a prova. Então, em geral, queremos que e sejam potências de base . Para isso, podemos fazer e para alguns números reais e .
Então, por definição, também é verdade que e .
Agora, temos:
Regra do quociente:
A prova dessa propriedade segue um método similar ao usado acima.
Novamente, se e , então temos que e .
Agora, podemos provar a regra do quociente da seguinte forma:
Regra da potência:
Dessa vez, apenas está envolvido na propriedade, e ele é suficiente para que , o que nos dá .
A prova da regra da potência é mostrada abaixo.
Como alternativa, podemos justificar essa propriedade usando a regra do produto.
Por exemplo, sabemos que , sendo por ele mesmo vezes.
Agora, podemos usar a regra do produto junto com a definição de multiplicação como uma soma repetitiva para completar a prova. Isso é mostrado abaixo.
Pronto! Acabamos de provar as três propriedades logarítmicas!
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- No log2 (4.8)
Eu poderia fazer log2(2^2.2^3)
E no fim daria 5 o resultado do por, fazendo as operações logaritmicass.... Estaria correto dessa forma ?(6 votos)