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Álgebra intermediária (parte 2)

Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 8

Lição 3: Propriedades dos logaritmos

Justificação das propriedades de logaritmo

Estude as provas das propriedades logarítmicas: a regra do produto, a regra do quociente e a regra da potência.

Nessa lição, vamos provar três propriedades logarítmicas: a regra do produto, a regra do quociente e a regra da potência. Antes de começar, vamos lembrar-nos de um fato importante que vai nos ajudar ao longo do caminho.

$\log_{b} (b^{c}) = c$ ‍

Em outras palavras, um logaritmo na base

b

inverte o efeito de uma potência na base

b

[Por que isso é verdadeiro de novo?]

Tenha isso em mente ao ler as provas a seguir.

Regra do produto: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Vamos começar provando um caso específico da regra — quando

M = 4

N = 8

, e

b = 2

Substituindo esses valores em

\log_{b} (M N)

, temos:

$\begin{aligned} \log_{2} (4 \cdot 8) & = \log_{2} (2^{2} \cdot 2^{3}) & 2^{2} = 4 e 2^{3} = 8 \\ = \log_{2} (2^{2 + 3}) & a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \\ = 2 + 3 & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) & Como 2 = \log_{2} (4) e 3 = \log_{2} (8) \end{aligned}$ ‍

Então, temos que

\log_{2} (4 \cdot 8) = \log_{2} (4) + \log_{2} (8)

Embora isso confirme apenas um caso, podemos seguir essa lógica para provar a regra do produto em casos gerais.

Observe que escrever

4

8

como potências de

2

foi fundamental para a prova. Então, em geral, queremos que

M

N

sejam potências de base

b

. Para isso, podemos fazer

M = b^{x}

N = b^{y}

para alguns números reais

x

y

[Por que podemos fazer isso?]

Então, por definição, também é verdade que

\log_{b} (M) = x

\log_{b} (N) = y

Agora, temos:

$\begin{aligned} \log_{b} (M N) & = \log_{b} (b^{x} \cdot b^{y}) & Substituição \\ = \log_{b} (b^{x + y}) & Propriedades de expoentes \\ = x + y & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) + \log_{b} (N) & Substituição \end{aligned}$ ‍

Regra do quociente: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

A prova dessa propriedade segue um método similar ao usado acima.

Novamente, se

M = b^{x}

N = b^{y}

, então temos que

\log_{b} (M) = x

\log_{b} (N) = y

Agora, podemos provar a regra do quociente da seguinte forma:

$\begin{aligned} \log_{b} (\frac{M}{N}) & = \log_{b} (\frac{b^{x}}{b^{y}}) & Substituição \\ = \log_{b} (b^{x - y}) & Propriedades de expoentes \\ = x - y & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) - \log_{b} (N) & Substituição \end{aligned}$ ‍

Regra da potência: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

Dessa vez, apenas

M

está envolvido na propriedade, e ele é suficiente para que

M = b^{x}

, o que nos dá

\log_{b} (M) = x

A prova da regra da potência é mostrada abaixo.

$\begin{aligned} \log_{b} (M^{p}) & = \log_{b} ({(b^{x})}^{p}) & Substituição \\ = \log_{b} (b^{x p}) & Propriedades de expoentes \\ = x p & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) \cdot p & Substituição \\ = p \cdot \log_{b} (M) & A multiplicação é comutativa \end{aligned}$ ‍

Como alternativa, podemos justificar essa propriedade usando a regra do produto.

Por exemplo, sabemos que

\log_{b} (M^{p}) = \log_{b} (M \cdot M \cdot … \cdot M)

, sendo

M

por ele mesmo

p

vezes.

Agora, podemos usar a regra do produto junto com a definição de multiplicação como uma soma repetitiva para completar a prova. Isso é mostrado abaixo.

\begin{aligned} \log_{b} (M^{p}) & = \log_{b} (M \cdot M \cdot … \cdot M) & Definição de expoentes \\ = \log_{b} (M) + \log_{b} (M) + … + \log_{b} (M) & Regra do produto \\ = p \cdot \log_{b} (M) & Soma repetida é multiplicação \end{aligned}

Pronto! Acabamos de provar as três propriedades logarítmicas!

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araujodia38
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “No log2 (4.8) ...” de araujodia38
No log2 (4.8)

Eu poderia fazer log2(2^2.2^3)
E no fim daria 5 o resultado do por, fazendo as operações logaritmicass.... Estaria correto dessa forma ?
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(6 votos)
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Álgebra intermediária (parte 2)

Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 8

Regra do produto: logb⁡(MN)=logb⁡(M)+logb⁡(N)‍

Regra do quociente: logb⁡(MN)=logb⁡(M)−logb⁡(N)‍

Regra da potência: logb⁡(Mp)=plogb⁡(M)‍

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Regra do produto: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Regra do quociente: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Regra da potência: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍