Introdução às propriedades dos logaritmos (2 de 2)

RKA - Agora vou mostrar as duas últimas propriedades de logaritmos. Sempre achei que essa é a propriedade mais óbvia, mas não se sinta mal se não achar isso. Eu peço que você realmente pratique estas propriedades de logaritmos, porque é a única maneira para aprender. E o objetivo da matemática não é só passar no próximo exame, ou tirar 10 na próxima prova. O objetivo é entender a matemática para que possa realmente aplicar na vida. A próxima propriedade de logaritmo é: A vezes o logaritmo de C na base B é igual ao logaritmo de C elevado à potência de A na base B. Fascinante! Então, vamos ver se isso funciona. Digamos que eu tenho 3 vezes o logaritmo de 8 na base 2. Esta propriedade nos diz que será igual ao logaritmo de 8 na base 2³. Logaritmo de 8 na base 2³. A gente pode determinar isso. Vamos verificar esse resultado. 3 vezes log de 8 na base 2. Quanto é isso? Quando eu quiser calcular o valor de alguma coisa, implicitamente, tenho que usar as propriedades de log e de potenciação. Eu estou tentando evitar isso. Bom, vamos voltar. Quanto é? 2 elevado a qual potência é 8? 2³ é 8, certo? Então isso é 3, tem um 3 aqui. Então fica 3 vezes 3. Então, deveria ser igual a 9. Se isto é igual a 9, sabemos que esta propriedade funciona pelo menos para este exemplo. Você não sabe se funciona para todos os exemplos e, para isso, talvez queira olhar para as demonstrações que têm nos outros vídeos, mas esse é um assunto um pouco mais avançado. O mais importante é entender como usar. Vejamos. Quanto é 2⁹? Vai ser um número grande. Na verdade, eu sei que é 512, porque, no último vídeo, determinamos que 2⁸ era 256. 2⁹ deve ser 512. Se 8³ também é 512, estamos certos, não é? Porque log de 512 na base 2 vai ser igual a 9. Quanto é 8²? É 64. 8² é 64, então 8³... 8 vezes 4 é 32, fica o 2 e sobe o 3. 6 vezes 8 é 48, mais 3, dá 51, parece que é 512. E tem outras formas que poderia ter usado, porque poderia ter dito que 8³ é igual a 2⁹. Como sabemos isso? 8³ é igual a 2³, elevado à terceira de novo. Certo? Reescrevi 8 como 2³. E sabemos das nossas regras de potências que (2³)³ é igual a 2⁹. Aqui devemos multiplicar os expoentes, que é uma propriedade de potências, e essa é a propriedade de expoentes que eleva a esta propriedade de logaritmo. Mas não vou me concentrar muito nisso nessa apresentação. Tem um vídeo inteiro para demonstrar isso de maneira mais formal. Depois, eu vou revisar tudo e talvez faça alguns exemplos. Essa outra propriedade que vou mostrar provavelmente é a propriedade de logaritmo mais útil. E eu vou te mostrar por quê. Temos que: log de A na base B é igual a log de A na base C dividido por log de B na base C. Então, por que esta é uma propriedade útil? Digamos que vai para a aula, e tem uma prova surpresa. Tcharam! O professor diz: você pode usar a calculadora para determinar o log de 357 na base 17. E vai correr e procurar pelo botão de log com base 17 na sua calculadora e não vai achar, porque não existe um botão de log na base 17 na sua calculadora. Você provavelmente vai ter ou um botão log, ou um botão Ln. E só para que saiba, o botão log da sua calculadora provavelmente é base 10. E o botão Ln na sua calculadora vai ser base "e". Para quem não conhece "e", não se preocupe com isso, mas é 2,71 alguma coisa, e... É um número. É um número incrível, mas vamos falar mais sobre isso numa futura apresentação. Então, só tem duas bases na sua calculadora. Se quer determinar outro logaritmo numa outra base, você usa esta propriedade. Se cair numa prova, pode dizer: Ah! É igual a log na base... E poderia escolher base "e" ou base 10. Poderia falar que é igual a log de 357 na base 10, dividido por log de 17 na base 10. Então, só coloca 357 na sua calculadora e aperta o botão log, e aí terá um valor aqui. Então pode apagar, ou se souber usar os parênteses na sua calculadora, poderia fazer isso. Mas aí digita 17 na sua calculadora e aperta o botão log para aparecer outro valor, e aí divide e tem a sua resposta. Essa é uma propriedade super útil para os viciados em calculadora. E, mais uma vez, eu não vou entrar em detalhes. Para mim, esse é o mais útil, mas ele não se encaixa completamente, ele não entra logicamente nas propriedades exponenciais. Mas é difícil descrever essa dica de maneira simples e, provavelmente, quer ver a prova dela, se não acredita porque acontece. Mas, deixando de lado, provavelmente essa é a que vai usar mais no dia a dia, porque logaritmos são úteis. Vamos fazer, então, alguns exemplos. Vamos reescrever um monte de coisas de maneira mais simples. Então, se eu quisesse reescrever log de base 2... raiz quadrada de (32 dividido pela raiz quadrada de 8). Isso! Como posso reescrever isso para que não fique bagunçado? Bom, vamos pensar. Isto é igual a log de 32 na base 2 sobre a raiz quadrada de 8 elevado a 1/2, certo? E das nossas propriedades de logaritmos, sabemos que isso é igual a 1/2 vezes o logaritmo de (32 dividido pela raiz quadrada de 8), não é? Só peguei o expoente e apliquei a propriedade de logaritmo. Ele passou multiplicando a expressão toda, e aprendemos no começo desse vídeo. Agora tem um quociente aqui. Logaritmo de (32 dividido por logaritmo de raiz quadrada de 8). Vamos deixar o 1/2 de fora multiplicando tudo. Será 1/2 vezes (logaritmo de 32 na base 2 menos o logaritmo da raiz quadrada de 8 na base 2). Correto? Vamos ver. Aqui tem a raiz quadrada, então poderia falar que é igual a 1/2 vezes log de 32 na base 2 menos... Esse 8 elevado à potência 1/2, que é igual a 1/2 vezes log de 8 na base 2. Aprendemos essa propriedade no começo da apresentação. E depois, se quiser, dá para distribuir esse 1/2 que estava fora do parênteses. Isso é igual a 1/2 vezes log de 32 na base 2 - 1/4, porque fazemos 1/2 vezes esse 1/2, menos 1/4 vezes o log de 8 na base 2. Isso é 5/2 - 3 vezes 1/4, que é 3/4. Isso é igual a 10/4 - 3/4, 7/4. A gente se vê em breve. Fui.