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Álgebra intermediária (parte 2)
Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 8
Lição 3: Propriedades dos logaritmos- Introdução às propriedades dos logaritmos (1 de 2)
- Introdução às propriedades dos logaritmos (2 de 2)
- Introdução a propriedades dos logaritmos
- Como usar a regra do produto de logaritmos
- Como usar a propriedade da potência do logaritmo
- Use as propriedades dos logaritmos
- Como usar as propriedades dos logaritmos: várias etapas
- Prova da propriedade do produto de logaritmos
- Prova das propriedades do quociente do logaritmo e da potência do logaritmo
- Justificação das propriedades de logaritmo
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Introdução às propriedades dos logaritmos (2 de 2)
Neste vídeo, apresentamos as identidades dos logaritmos para a multiplicação de um logaritmo por uma constante, e a regra da mudança de base. Versão original criada por Sal Khan.
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- Alguém percebeu que é a voz do Wendel Bezerra?(3 votos)
- sim, é uma estratégia do Khan para atrair jovens e escutar "goku" ensinando(3 votos)
- por que ele coloca 1/2 e corta a raiz ??
tempo do video:7:38(3 votos)- escrever "raiz quadrada de x" é o mesmo que dizer "x elevado à meio".
Assim se temos a raiz quadrada de 4 igual a dois, também temos 4 elevado a meio igual a dois.
outro exemplo: raiz quadrada de 121 é 11, 121 elevado a meio também é 11.
O mesmo vale pra raiz cubica ou de qualquer ordem maior.
Exemplo: raiz cubica de 8 é 2, e 8 elevado à um terço (1/3) também é 2.
Exemplo 2: raiz décima de 1024 é 2, 1024 elevado à 1/10 também é 2(6 votos)
- Não entendi duas coisas
Como que 1/2 se tornou 1/4?
É pq desse 5/2 e 3/4?(1 voto)- Ele utilizou a propriedade distributiva, ou seja, multiplicou 1/2 por log de 32 na base 2 e multiplicou 1/2 por 1/2 vezes log de 8 na base 2.
1º exemplo: 1/2 . 1/2 = 1/4
(multiplica-se os numeradores e multiplica-se os denominadores)
2º exemplo: 1/2 (x - x/2)
1/2 . x - 1/2 . x/2
x/2 - x/4
A segunda dúvida:
log de 32 na base 2 é igual a 5
log de 8 na base 2 é igual a 3
Com base nisso podemos continuar da seguinte forma:
1/2 . 5 - 1/4 . 3
5/2 - 3/4 (novamente multiplicam-se os numeradores e os denominadores)(4 votos)
- Em, por que o resultado da conta dá 7/4? não deveria resultar em 10/3? 9:28(2 votos)
- MMC, você divide pelo debaixo e multiplica pelo de cima que acaba dando 7/4 pois seria 10-3 sobe 4(4 votos)
- nosporque ele coloca menos ? 8:29(1 voto)
- Propriedade de logaritmos que faz com que a diferença entre dois logaritmos de bases iguais seja igual ao logaritmo da divisão dos argumentos, se eles tiverem a mesma base.
Em linguagem matemática temos: log (x) - log (y) = log (x/y).(1 voto)
- Emé dito que 3 x o log de 8 na base 2 (que é 3) seria igual ao log de 8 na base 2 ao cubo. Mas isso nao é verdade! 3 x 3 = 9, e o log de 8 na base 2 (=3) ao cubo nao é 9, é 27! 2:15(1 voto)
- Alguém pode explicar como é definida essa propriedade do logaritmo emdo vídeo. 6:01
log 30 = log 30/log 10(1 voto)- Essa propriedade é muito utilizada quando a base é diferente de 10. Se tivermos log de 200 na base 15, isso é o mesmo que log de 200 na base 10, dividido por log de 15 na base 10.
log 200 na base 15
log 200/log 15 (ambos na base 10, como a base é 10 não é necessário escrever)
2,30 / 1,177
1,95
Se você observar, o que você escreveu acima está correto, log de 30 na base 10 é igual a log de 30 na base 10 dividido por log de 10 na base 10, porém, como a base já era 10 não há a necessidade de utilizar essa propriedade. O motivo disso é que log de 10 na base 10 é igual a 1, e qualquer número dividido por 1 é ele mesmo.(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA - Agora vou mostrar
as duas últimas propriedades de logaritmos. Sempre achei que essa é a propriedade mais óbvia, mas não se sinta mal se não achar isso. Eu peço que você realmente pratique
estas propriedades de logaritmos, porque é a única maneira para aprender. E o objetivo da matemática não é só passar
no próximo exame, ou tirar 10 na próxima prova. O objetivo é entender a matemática
para que possa realmente aplicar na vida. A próxima propriedade de logaritmo é: A vezes o logaritmo de C na base B é igual ao logaritmo
de C elevado à potência de A na base B. Fascinante! Então, vamos ver se isso funciona. Digamos que eu tenho
3 vezes o logaritmo de 8 na base 2. Esta propriedade nos diz que será igual
ao logaritmo de 8 na base 2³. Logaritmo de 8 na base 2³. A gente pode determinar isso. Vamos verificar esse resultado. 3 vezes log de 8 na base 2. Quanto é isso? Quando eu quiser calcular
o valor de alguma coisa, implicitamente, tenho que usar as propriedades
de log e de potenciação. Eu estou tentando evitar isso. Bom, vamos voltar. Quanto é? 2 elevado a qual potência é 8? 2³ é 8, certo? Então isso é 3, tem um 3 aqui. Então fica 3 vezes 3. Então, deveria ser igual a 9. Se isto é igual a 9, sabemos que esta propriedade funciona pelo menos para este exemplo. Você não sabe se funciona para todos os exemplos e, para isso, talvez queira olhar
para as demonstrações que têm nos outros vídeos, mas esse é um assunto um pouco mais avançado.
O mais importante é entender como usar. Vejamos. Quanto é 2⁹? Vai ser um número grande.
Na verdade, eu sei que é 512, porque, no último vídeo,
determinamos que 2⁸ era 256. 2⁹ deve ser 512. Se 8³ também é 512,
estamos certos, não é? Porque log de 512 na base 2
vai ser igual a 9. Quanto é 8²? É 64. 8² é 64, então 8³... 8 vezes 4 é 32,
fica o 2 e sobe o 3. 6 vezes 8 é 48, mais 3, dá 51,
parece que é 512. E tem outras formas que poderia ter usado,
porque poderia ter dito que 8³ é igual a 2⁹. Como sabemos isso? 8³ é igual a 2³, elevado à terceira de novo. Certo? Reescrevi 8 como 2³. E sabemos das nossas regras de potências
que (2³)³ é igual a 2⁹. Aqui devemos multiplicar os expoentes,
que é uma propriedade de potências, e essa é a propriedade de expoentes
que eleva a esta propriedade de logaritmo. Mas não vou me concentrar muito nisso
nessa apresentação. Tem um vídeo inteiro para demonstrar isso
de maneira mais formal. Depois, eu vou revisar tudo
e talvez faça alguns exemplos. Essa outra propriedade que vou mostrar
provavelmente é a propriedade de logaritmo mais útil. E eu vou te mostrar por quê. Temos que: log de A na base B é igual a log de A na base C dividido por log de B na base C. Então, por que esta é uma propriedade útil? Digamos que vai para a aula,
e tem uma prova surpresa. Tcharam! O professor diz: você pode usar a calculadora
para determinar o log de 357 na base 17. E vai correr e procurar pelo botão
de log com base 17 na sua calculadora e não vai achar, porque não existe
um botão de log na base 17 na sua calculadora. Você provavelmente vai ter
ou um botão log, ou um botão Ln. E só para que saiba, o botão log da sua calculadora
provavelmente é base 10. E o botão Ln na sua calculadora vai ser base "e". Para quem não conhece "e", não se preocupe com isso, mas é 2,71 alguma coisa, e... É um número. É um número incrível, mas vamos falar mais sobre isso numa futura apresentação. Então, só tem duas bases na sua calculadora. Se quer determinar outro logaritmo numa outra base, você usa esta propriedade. Se cair numa prova, pode dizer:
Ah! É igual a log na base... E poderia escolher base "e" ou base 10. Poderia falar que é igual
a log de 357 na base 10, dividido por log de 17 na base 10. Então, só coloca 357 na sua calculadora
e aperta o botão log, e aí terá um valor aqui. Então pode apagar, ou se souber usar os parênteses
na sua calculadora, poderia fazer isso. Mas aí digita 17 na sua calculadora e aperta o botão log para aparecer outro valor, e aí divide e tem a sua resposta. Essa é uma propriedade super útil
para os viciados em calculadora. E, mais uma vez, eu não vou entrar em detalhes. Para mim, esse é o mais útil, mas ele não se encaixa completamente, ele não
entra logicamente nas propriedades exponenciais. Mas é difícil descrever essa dica de maneira simples e, provavelmente, quer ver a prova dela,
se não acredita porque acontece. Mas, deixando de lado, provavelmente
essa é a que vai usar mais no dia a dia, porque logaritmos são úteis. Vamos fazer, então, alguns exemplos. Vamos reescrever um monte de coisas
de maneira mais simples. Então, se eu quisesse reescrever log de base 2... raiz quadrada de (32 dividido pela raiz quadrada de 8). Isso! Como posso reescrever isso
para que não fique bagunçado? Bom, vamos pensar. Isto é igual a log de 32 na base 2 sobre
a raiz quadrada de 8 elevado a 1/2, certo? E das nossas propriedades de logaritmos, sabemos que isso é igual a 1/2 vezes o logaritmo
de (32 dividido pela raiz quadrada de 8), não é? Só peguei o expoente
e apliquei a propriedade de logaritmo. Ele passou multiplicando a expressão toda,
e aprendemos no começo desse vídeo. Agora tem um quociente aqui. Logaritmo de
(32 dividido por logaritmo de raiz quadrada de 8). Vamos deixar o 1/2 de fora multiplicando tudo. Será 1/2 vezes (logaritmo de 32 na base 2 menos o logaritmo da raiz quadrada de 8 na base 2). Correto? Vamos ver. Aqui tem a raiz quadrada, então poderia falar que é igual a 1/2 vezes log de 32 na base 2 menos... Esse 8 elevado à potência 1/2,
que é igual a 1/2 vezes log de 8 na base 2. Aprendemos essa propriedade
no começo da apresentação. E depois, se quiser, dá para distribuir
esse 1/2 que estava fora do parênteses. Isso é igual a
1/2 vezes log de 32 na base 2 - 1/4, porque fazemos 1/2 vezes esse 1/2,
menos 1/4 vezes o log de 8 na base 2. Isso é 5/2 - 3 vezes 1/4, que é 3/4.
Isso é igual a 10/4 - 3/4, 7/4. A gente se vê em breve. Fui.