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Problema de equação exponencial

Neste vídeo, modelamos um contexto relativo a uma conta-poupança do banco. O modelo acaba se tornando uma equação exponencial. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA - Lino abriu uma conta na poupança e depositou 6.250. A cada ano a poupança rende 20%. Quantos anos levará para a conta atingir 12.960? Escreva uma equação que represente a situação. Use "t" para representar o número de anos desde que Lino abriu a conta. Pause o vídeo e tente solucionar sozinho. Tente escrever a equação que representa a situação usando a variável "t", como descreveram, e depois responda em quantos anos a conta chegará a 12.960. Vamos pensar. "t" representa os anos desde que Lino abriu a conta. Digamos que faça zero ano que ele abriu a conta. Quanto ele vai ter? Vai ter 6.250 nela. Ele começa com esse valor. Agora, se passou um ano desde que ele abriu a conta. Quanto vai ter? Ele vai ter 6.250 vezes... (vamos escrever assim)... mais 20% de 6.250. Ela rende 20% todo ano. Lino começou o ano com isso e ganha mais 20% desses 6.250. Se fatorar 6.250, é igual a 6.250 vezes 1 mais 20% (ou podemos escrever como "0,2"), que é igual a "6.250‧(1,2)". Quanto ele vai ter ao final de dois anos? A mesma quantidade que tinha ao fim de um ano vezes "1,2", porque rendeu 20% de novo. Ele vai ter o valor que tinha ao final de um ano vezes "1,2", que é igual a "6.250‧(1,2)‧(1,2)", que é igual a "6.250‧(1,2)²". Você já deve ter percebido o que estou fazendo. Pela ordem das operações, calculamos o expoente primeiro. Depois de três anos... após três anos, vamos multiplicar por "1,2" de novo. Ele vai ter "6.250‧(1,2)³". Então, após "t" anos, vamos multiplicar por "1,2" "t" vezes. Após "t" anos na poupança, ele vai ter "6.250‧(1,2)ᵗ" ("1,2" elevado à potência "t"). Não vamos nos confundir, tá? Enfim. Escreva uma equação que represente a situação. Queremos saber em quantos anos a conta chegará a 12.960, então, queremos saber quando a conta vai atingir 12.960. Podemos escrever 12.960; quando isso vai ser igual a "6.250‧(1,2)ᵗ"? Esta é a equação que representa a situação. Agora, tem que pensar em como vamos solucioná-la. E dá para isolar a variável "t". Vamos dividir os dois lados por 6.250; e, se trocar os dois lados, ficamos com "(1,2)ᵗ" é igual a... ou melhor, 12.960 dividido por 6.250. Como os dois são divisíveis por 10, por que não dividimos os dois por 10? 1.296 dividido por 625. E tem muitas formas de resolver esse problema. Uma delas, se tiver certeza de que esse será um número inteiro, é usar a calculadora e multiplicar "1,2" várias vezes até chegar a esse número. Podemos fazer assim. E tem uma forma mais sistemática, usando logaritmos, mas eu vou deixar para o final, caso você ainda não tenha aprendido logaritmo. Pode digitar... deixa eu limpa tudo isso... você pode digitar 1.296 dividido por 625. Dá isso aqui. Vejamos quantas vezes a gente tem que multiplicar por "1,2". "(1,2)‧(1,2)" dá... ainda não chegamos perto, vamos tentar três vezes. A gente pega o mesmo número... que "1,2"... e aumentamos... vamos aumentar "1,2" em 3 vezes... vezes "1,2"... vezes "1,2"... ainda não chegamos lá. E se multiplicar por "1,2" mais uma vez? Agora, chegamos lá! Fizemos isso à força. "(1,2)⁴" nos dá esse valor. Essa é uma forma mais manual de descobrir que "t = 4". Outra forma, um pouco menos intuitiva, é perceber que isso parece potência de 5. Sabemos que 5¹ é 5; 5² é 25; 5³ é 125; 5⁴ é 625. Então, a gente sabe que isso aqui é 5⁴. Mas é mais difícil perceber que isso aqui é 6⁴. E esse é 6/5. Dá para reescrever como "(6/5)ᵗ = (6⁴)/(5⁴)", que é igual a (6/5)⁴. Se (6/5)ᵗ precisa ser igual a (6/5)⁴, "t" é igual a 4. Essa forma é legal quando você reconhece que isso é um número elevado à quarta potência, o que não é fácil. Ou, se souber que "t" é um número inteiro, pode multiplicar por "1,2" se for um número inteiro baixo, mas a forma sistemática de solucionar é usar logaritmos; e tem vários vídeos sobre o uso de logaritmos. Mas, se quer só descobrir a que potencia "1,2" é igual a isso, basta... (e provamos isso em outros vídeos)... pegar o número ao qual quer que "1,2" seja elevado e calcular o logaritmo dele. E pode usar qualquer base. As calculadoras costumam ter base "e" e base 10. Vamos usar a base 10. Vamos lá! Vamos calcular o logaritmo do número ao qual queremos chegar, "2,0736", e dividir pelo número do qual queremos descobrir a potência para chegar a esse número, ou seja, dividido pelo logaritmo de "1,2". Na verdade, eu quero dividir. Tenho que inserir o símbolo de divisão. Pode parecer bem complicado, mas provamos em outros vídeos que, se quiser usar a calculadora para calcular coisas assim (porque, às vezes, não vai ser um número inteiro de anos, podem ser "3½" anos ou "7,1234" anos, o que quer que seja), vai te dar uma resposta mais precisa. Quer chegar a quê? A "2,0736". O que está elevando a alguma potência? "1,2". Divida o logaritmo do número ao qual quer chegar pelo logaritmo da base a qual quer elevar a alguma potência, e aperte "enter". Essa é outra forma de dizer que "(1,2)⁴" vai ser "2,0736". Se nunca viu isso, e não sabe o que são logaritmos, tem mais vídeos sobre isso no canal, mas tem várias formas de solucionar, principalmente esse problema, cuja solução é mais simples.