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Conteúdo principal

Simetria de modelos algébricos

Aprenda a interpretar a simetria de um gráfico no contexto de um problema aplicado.

Introdução

Neste artigo, vamos aprender a interpretar a simetria de um gráfico no contexto de um problema aplicado.
Mas, primeiro, vamos refrescar a memória sobre a simetria de funções.

Simetria de funções

Complete as sentenças sobre funções pares e ímpares.
Quando uma função f tem um gráfico simétrico em relação ao eixo y, dizemos que f é
. Algebricamente, isso significa que f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals
para qualquer valor x de entrada.
Quando uma função f tem um gráfico simétrico em relação à origem, dizemos que f é
. Algebricamente, isso significa que f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals
para qualquer valor x de entrada.
É
ter uma função que não é par nem ímpar.

Agora, vamos ver um exemplo.

Exemplo 1

A energia E, left parenthesis, x, right parenthesis armazenada em uma mola em joules é uma função do deslocamento da mola, x, em metros, a partir do seu estado relaxado, sendo que um x positivo indica uma mola esticada e um x negativo indica uma mola comprimida. O gráfico de y, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis é mostrado abaixo.
O que podemos aprender sobre o contexto a partir da simetria de seu gráfico?

A simetria da função E

Vamos aplicar à função E o que sabemos sobre simetria.
Se você refletir o gráfico da função E sobre o eixo y, ele cairá sobre si mesmo.
Portanto, E é uma função par. Algebricamente, isso significa que E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis para todos os valores de x.

Interpretação de características simétricas

O que significa “E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis para todos os valores de x”?
Como a afirmação é verdadeira para todos os valores de x, podemos dizer que E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis é verdadeiro quando x, equals, 2, x, equals, 4, x, equals, 10 etc. Vamos começar pensando no que a afirmação significa para um valor específico de x, nesse caso, quando x, equals, 2.
Quando x, equals, 2, essa afirmação se torna E, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, 2, right parenthesis.
Concentrar-se no que cada variável representa pode ajudar com essa interpretação. Lembre-se de que uma entrada positiva indica que a mola está esticada e uma entrada negativa indica que a mola está comprimida, e que a saída representa a energia armazenada na mola.
Sob essa perspectiva, vemos que start color #aa87ff, E, end color #aa87ff, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, right parenthesis, equals, start color #aa87ff, E, end color #aa87ff, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis significa que uma start color #1fab54, start text, m, o, l, a, space, c, o, m, p, r, i, m, i, d, a, space, end text, 2, start text, space, m, e, t, r, o, s, end text, end color #1fab54 contém a mesma quantidade destart color #aa87ff, start text, space, e, n, e, r, g, i, a, end text, end color #aa87ff que start color #e07d10, start text, a, space, m, e, s, m, a, space, m, o, l, a, space, e, s, t, i, c, a, d, a, space, end text, 2, start text, space, m, e, t, r, o, s, end text, end color #e07d10.
O que E, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, 4, right parenthesis significa neste contexto?
Escolha 1 resposta:

Agora estamos prontos para interpretar a afirmação mais geral, E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis, que é nosso objetivo final.
Usando os exemplos acima como orientação, vemos que E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis significa que uma mola comprimida x metros contém a mesma quantidade de energia que uma mola esticada x metros.
Em outras palavras: uma mola com certa compressão armazena a mesma quantidade de energia que uma mola esticada em igual medida.

Pergunta para reflexão

Uma afirmação que interpreta a simetria de uma função par faz qual das seguintes opções?
Escolha 1 resposta:

Vamos tentar outro exemplo.

Exemplo 2

Perseu normalmente usa 20 quilos de madeira por dia em sua lareira para manter a temperatura da sua casa em 25 graus Celsius. Ele tenta ajustar a quantidade de madeira, w, que ele queima, para ver como a temperatura varia. Especificamente, um w positivo indica uma adição de w quilos de madeira e um w negativo indica uma redução de w quilos de madeira. O gráfico de y, equals, T, left parenthesis, w, right parenthesis é mostrado abaixo, com T, left parenthesis, w, right parenthesis indicando a variação na temperatura da casa de Perseu.

A simetria da função T

O gráfico da função T é simétrico em relação à origem.
Então, a função T é uma função ímpar. Algebricamente, isso significa que T, left parenthesis, minus, w, right parenthesis, equals, minus, T, left parenthesis, w, right parenthesis para todos os valores de w.

Interpretação de características simétricas

Para interpretar a simetria nessa situação, queremos traduzir a afirmação matemática "T, left parenthesis, minus, w, right parenthesis, equals, minus, T, left parenthesis, w, right parenthesis para qualquer valor de w” em função do contexto.
Novamente, vamos começar pensando no significado disso para um valor específico de w. Então, podemos voltar e generalizar.
Para ficar mais fácil, lembre-se de que uma entrada positiva indica um acréscimo de madeira, que uma entrada negativa indica uma redução de madeira, e que a saída da função indica a mudança de temperatura.
Então, vemos que start color #63d9ea, T, end color #63d9ea, left parenthesis, start color #ed5fa6, minus, 1, end color #ed5fa6, right parenthesis, equals, minus, start color #63d9ea, T, end color #63d9ea, left parenthesis, start color #7854ab, 1, end color #7854ab, right parenthesis significa que a start color #63d9ea, start text, v, a, r, i, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, d, e, space, t, e, m, p, e, r, a, t, u, r, a, end text, end color #63d9ea resultante da queima de start color #ed5fa6, 1, start text, space, q, u, i, l, o, space, a, space, m, e, n, o, s, space, d, e, space, m, a, d, e, i, r, a, end text, end color #ed5fa6 é oposta àquela resultante da queima de start color #7854ab, 1, start text, space, q, u, i, l, o, space, a, space, m, a, i, s, space, d, e, space, m, a, d, e, i, r, a, end text, end color #7854ab.
Agora, estamos prontos para generalizar e interpretar a afirmação sobre simetria para um w geral.
O que T, left parenthesis, minus, w, right parenthesis, equals, minus, T, left parenthesis, w, right parenthesis significa neste contexto?
Escolha 1 resposta:

Em outras palavras: aumentar ou diminuir uma certa quantidade de madeira queimada tem efeitos exatamente opostos sobre a temperatura da casa.

Pergunta para reflexão

Uma afirmação que interpreta a simetria de uma função ímpar faz qual das seguintes opções?
Escolha 1 resposta:

Tirando uma conclusão

Em geral, para interpretar o significado da simetria do gráfico de uma função, é importante:
Etapa 1: decidir se a função é par ou ímpar e determinar o que isso significa algebricamente.
Etapa 2: entender o que cada variável representa em função do contexto.
Etapa 3: elaborar uma afirmação que use o significado das variáveis e comparar os valores de saída de valores de entrada opostos.

Agora é sua vez

Tina está aprendendo a dirigir um novo tipo de veículo. A velocidade do veículo é determinada pela posição de um botão giratório. A velocidade do veículo, V, left parenthesis, x, right parenthesis, em quilômetros por hora, é uma função da posição do botão, x. Observe que x, is greater than, 0 significa que o botão foi girado x unidades no sentido horário, e que x, is less than, 0 significa que o botão foi girado x unidades no sentido anti-horário.
O gráfico de y, equals, V, left parenthesis, x, right parenthesis é mostrado abaixo.
Essa função é par. Qual das afirmações a seguir interpreta melhor a simetria do gráfico da função V?
Escolha 1 resposta:

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