Produtos notáveis de polinômios: trinômio do quadrado perfeito

RKA4JL - Fala, galera da Khan Academy! Neste vídeo continuaremos dentro do assunto aritmética polinomial e, especificamente, falaremos sobre quadrados perfeitos neste vídeo. Você pode notar que esse assunto já foi falado anteriormente, porém, dessa vez nós iremos trabalhar com expressões um pouco mais complexas. Então, dito isso, vamos agora fazer uma breve revisão sobre o assunto. Vamos aqui desenvolver a expressão (a mais b)². Então, sugiro que você pause este vídeo e tente desenvolver. Bom, pode ser que você saiba desenvolver esse quadrado perfeito de forma imediata, mas vamos aqui fazer o passo a passo. Sabemos que (a mais b)² é igual a multiplicar (a mais b) por (a mais b). Aplicando a propriedade distributiva, teremos que “a” vezes “a” é a², a vezes b é ab, b vezes “a” também é ab e, por fim, b vezes b é b². Caso esse desenvolvimento aqui seja novo para você, eu sugiro que você procure aqui na Khan Academy um conteúdo mais introdutório sobre esse assunto de quadrados perfeitos. Então, simplificando, teremos a² mais 2ab mais b². Você pode se perguntar o porquê de fazer essa revisão, mas nós iremos utilizar essa ideia de que (a mais b)² é essa expressão aqui para desenvolver expressões que parecem um pouco mais complexas. Por exemplo, como desenvolvemos (5x⁶ mais 4)²? Levando em consideração a nossa revisão aqui, eu sugiro que você pause este vídeo e tente fazer o desenvolvimento por conta própria. Existem algumas maneiras de desenvolver esse quadrado. Você pode fazer o que fizemos aqui em cima, expandir os termos, aplicar a propriedade distributiva, ou você pode reconhecer esse padrão que nós estabelecemos em que o quadrado perfeito é o quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo. Neste caso aqui, teremos que 5x⁶ desempenha o papel do "a", e o 4 desempenha o papel do nosso "b" aqui em cima. Então, teremos (5x⁶)² mais 2 vezes 5x⁶ vezes 4 mais 4². Simplificando a nossa expressão, realizando essas potências, teremos 25x¹² mais essa expressão do meio, que é 40 vezes x⁶, e por fim 4², que é 16. Agora, como último desafio deste nosso vídeo, vamos desenvolver aqui o binômio 3t² menos 7t⁶, tudo isso elevado ao quadrado. Neste exemplo aqui, 3t² desempenha o papel de "a", e o -7t⁶ desempenha o papel do "b". Então, novamente, temos este primeiro termo ao quadrado, que é o 3t⁴, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, que é 2 vezes (3t²) vezes (-7t⁶), e por fim somaremos o quadrado do segundo termo, que é 49t¹². Então, simplificando rapidamente esse polinômio, nós teremos para o primeiro termo 9t⁴, para o segundo termo -63t⁸, mais 49t¹². Então, galera, só para sintetizar os conhecimentos adquiridos neste vídeo, a partir de um simples quadrado perfeito nós desenvolvemos aqui duas expressões aparentemente mais complexas do que apenas (a mais b)², beleza? E então é isso, galera, nós nos vemos nos próximos vídeos!