Fatoração com divisão de polinômios: termo desconhecido

RKA8JV - Olá, tudo bem com você? Você vai assistir, agora, a mais uma aula de matemática. Nesta aula, vamos resolver um exemplo sobre fatoração usando divisão de polinômios. Este exemplo diz o seguinte: o polinômio p(x) = x³ + 9x² - 108 possui um fator igual a (x + 6). Reescreva p(x) como um produto de fatores lineares. Pause este vídeo e tente fazer isso. Ok, tentou? Vamos fazer isso juntos agora? Como a questão nos fornece um dos fatores, o que podemos fazer aqui é o seguinte. Tentar ver o que acontece se a gente dividir p(x) por (x + 6). Fazendo isso, o que teremos como resultado? Bem, parece que ainda teremos uma expressão quadrática, mas aí, poderemos fatorar isso de alguma forma e aí, com isso, obter um produto de fatores lineares. Bem, vamos fazer isso aqui. Vamos dividir x³ + 9x² - 108 por (x +6). Inicialmente, dividimos x³/x, aí teremos x². Multiplicamos agora x² por "x" e por 6, aí teremos x³ + 6x². Subtraindo o que a gente tinha pelo que temos agora, podemos anular o x³. 9x² - 6x² = 3x². Aí descemos o -108. Agora dividimos 3x²/x. Com isso, teremos apenas 3x. Multiplicando 3x por (x + 6), teremos 3x² + 18x. Subtraindo que a gente tinha com 3x² + 18x, anularemos o 3x² e ficaremos apenas com -18x. Aí descemos o -108. Agora, dividimos -18x por "x", com isso, teremos -18. Multiplicando -18 por (x + 6), teremos -18x - 108. Subtraindo o que a gente tinha com que encontramos aqui, anularemos o -18x e o -108. Repare que não teremos resto. Isto é ótimo, porque assim podemos reescrever o nosso polinômio p(x) como o produto entre o nosso fator (x + 6) e o que encontramos como resultado, ou seja, (x² + 3x - 18). Repare que ainda não terminamos, porque isso não é um fator linear, isso ainda é quadrático. Então, para fatorar isso, podemos pensar em dois números que ao somá-los encontraremos 3, e ao multiplicá-los encontraremos -18. Eu vou precisar de sinais diferentes, então, o óbvio aqui é 6 positivo e 3 negativo, afinal, 6 +(-3) = 3. E 6 vezes -3 é igual a -18. Enfim, a gente pode reescrever tudo isso aqui agora como o produto entre (x + 6), (x + 6) e (x - 3). E pronto, terminamos! Temos um produto de fatores lineares. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho aqui, e mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!