Introdução à divisão longa de polinômios

RKA - Neste vídeo, vamos aprender divisão polinomial. Algumas vezes, chamada de divisão algébrica longa. Mas, vocês vão ver sobre o que eu estou falando, quando fizermos alguns exemplos. Digamos que apenas quero dividir 2x mais 4. Dividir isso por 2. Não estamos realmente alterando o valor, estamos apenas alterando como vamos expressar o valor. Portanto, já sabemos como simplificar. Já fizemos isso antes. Podemos dividir o numerador e o denominador por 2, e isso seria igual a quê? Isso seria igual a x mais dois. Deixa eu escrever assim: será igual a... Se dividirmos por 2, ele se torna 1x. Dividindo 4 por 2, teremos 2. Se dividimos o 2 por 2, teremos 1. Isso é igual a: x mais 2, que é bastante simples, eu acho. Outra forma, é que podemos fatorar esse 2 aqui, depois seriam cancelados, mas vou mostrar também como fazer isso usando divisão algébrica longa, que é um pouco exagerado para esse problema. Mas só quero mostrar que não é em si, nada de novo. Só é um modo diferente de fazer as coisas. Mas é útil para problemas mais complicados. Podemos também escrever isso como: 2 cabe em "2x mais 4" quantas vezes? E fazemos isso da mesma forma que fazemos na divisão longa tradicional. Diríamos 2... (sempre iniciamos com o termo de mais alto grau). 2 vai caber no termo de mais alto grau, ignoramos o 4. 2 cabe em 2x quantas vezes? Bom. Cabe em 2x “x” vezes, e colocamos o “x” no lugar do “x”. X vezes 2 é 2x, exatamente como na divisão longa tradicional. Agora subtraímos. 2x mais 4 menos 2x dá quanto? É 4, certo? 2 cabe em 4 quantas vezes? Cabe 2 vezes. 2 vezes. Vamos colocar no local de constantes dos termos independentes de x. 2 vezes 2 é 4. Subtraímos restando o zero. Isso parece bastante simples para um problema que provavelmente a gente já sabe fazer, e fazemos em poucas etapas. Vamos ver que esse é um processo generalizado, a gente pode fazer isso para um polinomial de qualquer grau dividindo por outro polinomial de qualquer grau. Vou mostrar sobre o que eu estou falando. Digamos que queremos dividir o polinômio "x mais 1", x ao quadrado mais 3, x mais seis por x mais 1. O que fazemos aqui? Ver o termo de grau mais alto aqui, que é um x. Vamos ver o termo de mais alto grau aqui, que é um x². Podemos ignorar todo o resto. Isso realmente simplifica o processo. Dizemos que x cabe em x² quantas vezes? Bom, x² dividido por x é apenas x, certo? X cabe em x² “x” vezes. Colocamos no lugar do x. Este é o lugar do x aqui, é o lugar de x elevado à primeira. X vezes x mais 1, é quanto? X vezes x é x². X vezes 1 é x, então é x² mais x. Como fizemos aqui, agora vamos subtrair, e temos o quê? X² mais 3x mais 6 menos x². Vamos ter cuidado, isso é menos x² mais x. Quero ter certeza de que o sinal negativo apenas se aplica a tudo isso. X² menos x², um cancela o outro, 3x. Isso vai ser um sinal de menos x. Vamos por este sinal aqui. Isso é menos x² menos x. Para ser bem claro, estamos subtraindo tudo. 3x menos x é 2x, depois descemos o 6, ou 6 menos zero, é 6. Portanto, 2x mais 6. Agora, veja o termo de maior grau. 1x e um 2x, quantas vezes x cabe em 2x? Cabe duas vezes. 2 vezes x é 2x. 2 vezes 1 é 2. 2 vezes 1 é igual a 2. Então, a gente tem 2 vezes x mais 1. É 2x + 2, mas queremos subtrair isso disso aqui em cima. Então vamos subtrair: em vez de escrever 2x mais 2, a gente pode apenas escrever menos 2x menos 2, depois somá-los. Esses se cancelam. 6 menos 2 é 4. Quantas vezes x cabe em 4? Podemos apenas dizer que é zero vezes. Podemos dizer que 4 é o resto. Podemos dizer, portanto, que a divisão não foi exata. Se a gente quiser reescrever x² mais 3x mais 6 sobre x mais 1. Observe, isso é o mesmo que: x² mais 3x mais 6 dividido por x mais 1. Isso dividido por isso, e podemos dizer que é igual a x mais 2. X mais 2 é igual a x mais o resto dividido por x mais 1. Mais 4 sobre x mais 1. Isso aqui e isso aqui são equivalentes. Se quiser conferir, se quiser chegar disso àquilo, o que pode fazer é multiplicar isto por x mais 1 sobre x mais 1 e depois acrescentar o 2. E isso é o mesmo que x mais 2. Ou apenas multiplicar isso vezes x mais 1 sobre x mais 1. Apenas multiplicamos isso por um, depois acrescentamos 4 sobre x mais 1. Fazendo isso, temos o mesmo denominador comum. Quando fazemos esta adição, ou seja, quando multiplicamos esses dois binômios, acrescentamos o 4 aqui em cima. Teremos x² mais 3x mais 6. Vamos fazer mais um. Isso é bem legal. Digamos que a gente tem... queremos simplificar, x² mais 5x mais 4 sobre x mais 4. Mais uma vez, podemos fazer nossa divisão algébrica longa. A gente pode dividir x mais 4. Desculpa... x mais 4 X² mais 5x mais 4. E, mais uma vez, exatamente o mesmo processo. Veja esses termos de grau mais alto nos dois. X cabe em x² quantas vezes? Cabe x vezes. Coloque isso no lugar de x. Esse é o lugar de x. X vezes x é x². X vezes 4 é 4x. E, claro, vamos subtrair esse desse. Vamos colocar um sinal negativo aqui. Agora, isto é cancelado. 5x menos 4x é x. 4 menos 0 é 4. X mais 4, e aí podemos ver isso acontecer. Digamos que x mais 4 cabe em x mais 4. Obviamente, cabe apenas uma vez. Ou, se não estivermos olhando para os termos constantes, diremos exatamente que... Bom, x cabe em x quantas vezes? Uma vez. Mais 1. 1 vez x é x. 1 vezes 4 é 4. Vamos subtraí-los daqui, depois se cancelam e não teremos resto. Isso aqui é simplificado a... isto é igual a x mais 1. Há outras formas de fazer isso. Podíamos tentar fatorar esse numerador. X² mais 5x mais 4 sobre x mais 4. Isso é igual a quanto? Poderíamos ter fatorado o numerador como x mais 4 vezes x mais 1. 4 vezes 1 é 4. 4 mais 1 é 5. Tudo sobre x mais 4. Este cancela, e ficamos com x mais 1. De qualquer forma, teria funcionado. Mas, essa divisão algébrica longa sempre funciona, mesmo se a gente não puder cancelar os fatores assim, mesmo se ficar um resto. Nesta situação não tivemos, portanto, isso é igual a x mais 1. Vamos fazer mais um desses, só para ter certeza de que realmente... porque isso é uma habilidade muito, muito útil para ter como ferramenta. Vamos supor que temos x²... (Deixa eu alterar aqui). Vamos supor que temos 2x². Poderia inventar esses números na hora. 2x² menos 20x mais 12 dividido por... Na verdade, vamos tornar isso mais interessante, só para mostrar que sempre funciona. Eu quero ir além da quadrática. Vamos supor que temos 3x³ menos 2x² mais 7x menos 4, e queremos dividir isso por x² mais 1. Acabei de inventar essa. Mas podemos fazer apenas a divisão algébrica longa para calcular quanto vai ser, quanto vai ficar com a simplificação. X² mais 1 dividido por isto aqui. 3x³ menos 2x² mais 7x menos 4. De novo, veja o termo de grau mais alto. X² cabe em 3x³ quantas vezes? Vai caber 3x vezes. Multiplicamos 3x vezes isso, e temos 3x³. Vai caber 3x vezes. Temos que escrever 3x aqui nos termos x, assim vai caber 3x vezes, dessa forma. Vamos multiplicar. 3x vezes x² é 3x³. Certo? 3x vezes x² mais 3x vezes um. A gente tem um 3x aqui. Estou me assegurando de que vai ficar no lugar de x. Queremos subtraí-los. Temos o quê? O que temos quando fazemos isso? Estes se cancelam, temos menos 2x² 7x menos, porque... subtraí zero daqui. 7x menos 3x é mais 4x. E temos menos 4. Mais uma vez, vamos ver o termo de grau mais alto. X² e menos 2x². X² cabe em menos 2x², menos duas vezes, menos 2 colocamos no lugar da constante, menos 2 vezes x² é igual a menos 2x². Menos 2 vezes 1 é menos 2. Agora, queremos subtrair esses dali. Depois, vamos multiplicá-los por menos um. Eles se tornam positivos. Cancelamos esses aqui... 4x menos zero é... (Vamos mudar as cores.) 4x menos 0 é 4x. Menos 4 mais 2, ou menos 4 mais 2, é igual a menos 2x². Agora, tem um grau mais alto que 4x, é o grau mais alto aqui. Portanto, vemos isso como o resto. Podemos reescrever esta expressão como sendo igual a: 3x menos 2. Esse é o 3x menos 2. Mais o nosso resto 4x menos 2, tudo isso sobre x² mais 1. Espero que tenham achado isso tão divertido quanto eu achei. Fui!