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Álgebra intermediária (parte 2)
Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 4
Lição 2: Divisão de expressões do segundo grau por fatores lineares- Introdução à divisão longa de polinômios
- Divisão de expressões do segundo grau por expressões lineares (sem resto)
- Divida expressões do segundo grau por expressões lineares (sem resto)
- Divisão de expressões do segundo grau por expressões lineares com resto
- Divisão de expressões do segundo grau por expressões lineares com resto: termo x desconhecido
- Divida expressões do segundo grau por expressões lineares (com resto)
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Divisão de expressões do segundo grau por expressões lineares com resto: termo x desconhecido
Um caso interessante na divisão polinomial é quando falta um dos termos. O vídeo explica como dividir uma expressão de segundo grau, como (x²+1), por uma linear, como (x+2). São mostrados dois métodos: reexpressar o numerador e usar divisão algébrica longa. Ambos os métodos levam à mesma resposta.
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Transcrição de vídeo
RKA22JL - E aí, pessoal?
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos continuar falando
a respeito de divisão de polinômios, mas, dessa vez, nós vamos dividir
um polinômio quadrático por um polinômio linear, de modo que a
divisão tenha um resto. Vamos ver isso
de duas formas. Eu tenho a seguinte divisão: x ao quadrado
mais 1, dividido por x mais 2. A primeira forma é
fatorar esse numerador, de modo que apareça algum polinômio do
primeiro grau que eu possa cancelar com esse x mais 2. Basicamente, tem que aparecer
um x mais 2 aqui no numerador. E como podemos fazer isso?
Esse numerador não é tão fácil de fatorar. Por causa disso, vamos começar olhando
para esse denominador, e a melhor maneira de fazer isso
é construir uma diferença de quadrados aqui. Isso porque nós sabemos que x mais 2, que multiplica
x menos 2, é igual a x ao quadrado menos 4. E para aqui ficar com o -4,
o que teríamos que fazer? Teríamos que subtrair 5.
Isso porque 1 menos 5 é igual a -4. Ou seja, podemos reescrever x ao quadrado mais 1 como
x quadrado menos 4 mais 5, e isso dividido por x mais 2. Essa expressão é equivalente a essa aqui.
Dá o mesmo resultado. Isso porque -4 mais 5 vai ser 1.
Mas por que fazemos isso? Simples. Agora, podemos associar
esse x ao quadrado menos 4, e sabemos que x ao quadrado menos 4
é igual a x mais 2, que multiplica x menos 2. Então, ficamos com x mais 2, que multiplica x
menos 2, mais 5, dividido por x mais 2. E podemos reescrever essa expressão
como x mais 2, que multiplica x menos 2, dividido por x mais 2, mais 5,
dividido por x mais 2. E eu posso até colocar
esse 5 de roxo, também. Então, mais 5
dividido por x mais 2. E, fazendo isso, nós podemos cancelar
esse x mais 2 com esse aqui. E aí, ficamos com x menos 2,
mais 5 dividido por x mais 2. E, claro, esse x tem que ser
diferente de -2, mas por quê? Como sabemos, um denominador
não pode ser zero, correto? Se colocarmos -2 aqui no lugar desse x,
vamos ficar com -2 mais 2, que vai ser zero. Com isso, vamos ficar com 5 dividido por zero,
o que não é possível resolver. Se dividirmos x ao quadrado mais 1
por x mais 2, vamos encontrar x menos 2 e vamos ter o
5 como o resto. Uma outra forma de realizar essa divisão
é aplicar um algoritmo. Nós colocamos o x ao quadrado
mais 1 aqui, e dividimos por x mais 2. E como podemos
fazer isso? Pegando o x ao quadrado
e dividindo por x, que é igual a x. Pegamos esse x e multiplicamos por x
e, depois, por 2, e x vezes x é igual a x ao quadrado, e colocamos aqui com o sinal invertido.
Ou seja, -x ao quadrado. Sim, o algoritmo é,
basicamente, esse. Você pega o valor daqui,
multiplica por todo mundo daqui e vai trazendo, colocando aqui
com o sinal contrário. Ou seja, x vezes 2 dá 2x,
e trazemos para cá como -2x. Agora, somamos
os polinômios. Esse x ao quadrado se cancela com esse
–x ao quadrado e repetimos o -2x e abaixamos o 1. Claro, eu coloquei direto o -2x,
porque não havia nenhum coeficiente com x. Na verdade, até havia, que era o zero,
mas não faz diferença alguma. Note que o grau desse polinômio é 1
e o grau de x mais 2 também é 1. Significa que eles são iguais.
Então, podemos continuar a divisão. Se o grau desse aqui fosse menor
que desse, não poderíamos. -2x dividido por x
é igual a -2. Aí, pegamos o -2 e multiplicamos por x,
que vai dar -2x. Mas colocamos aqui com o sinal contrário,
ou seja, +2x. Agora, pegamos o -2 e multiplicamos por 2,
que dá -4, e colocamos aqui como +4. E, se somarmos os polinômios do primeiro grau, vamos
cancelar esse -2x com esse 2x, e 1 mais 4 é igual a 5. Ou seja, esse aqui é o resto,
e é o mesmo resto que tínhamos encontrado aqui. E eu espero que essa aula tenha ajudado
vocês, e até a próxima, pessoal!