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Teorema do resto: verificação de fatores

Neste vídeo, verificamos se (x-3) é um fator de (2x^4-11x^3+15x^2+4x-12) usando o teorema do fator.

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Transcrição de vídeo

RKA - Vamos fazer esse exercício aqui. Será que "x - 3” é fator desse nosso polinômio aqui de 4º grau? Bom, aqui é o seguinte: eu poderia muito bem efetuar essa divisão (seria uma divisão bem longa), e, aí, se ao efetuar essa divisão, eu chegar num resto zero, ou seja, não ter resto algum, aí eu posso dizer que esse "x - 3” é fator, sim, desse polinômio todo. Ou seja, o resto é igual a zero se e somente se aquele "x - 3” ali for um fator, beleza? Só que há um jeito mais rápido e fácil de calcular e responder se o "x - 3" é fator disso daqui tudo sem efetuar a divisão, usando simplesmente o nosso teorema do resto polinomial. Isso eu posso fazer quando eu divido esse polinômio aqui por um outro polinômio de grau igual a 1, certo? Ou seja, de maneira geral, se eu tiver um polinômio aqui "p(x)", eu posso muito bem dividir por "x - a"; então, eu vou ter uma divisão por "x - a". O resultado dessa divisão aqui, ele vai me dar um resto e esse resto vai ser exatamente igual ao valor daquele "a" ali quando eu substituir no polinômio. Ou seja, o resto vai ser igual a "p(a)". Quando eu trocar o "x" por "a", eu vou ter exatamente o resto. E você repara que, nesse nosso caso aqui, o "a" ele é 3 positivo, porque aqui é "x - 3” e aqui é "x - a", beleza? Ora, se eu calcular aqui a "p(3)", nesse caso aqui colocar no lugar do "x" o 3, e isso me der igual a zero, isso quer dizer que o resto da divisão desse polinômio aqui por "x - 3” vai ser igual a zero. Logo, o "x - 3” será um fator disso daqui. Agora, se o resto for diferente de zero (qualquer outro valor diferente de zero), então esse "x - 3” não vai ser fator desse polinômio, está claro? Então, vamos fazer essa tentativa; vamos colocar no lugar do "x" o 3 e ver o que acontece. Vamos lá! Aqui eu vou ter 2 vezes 3⁴, que dá 81... menos 11 vezes 3³, que é 27... mais 15 vezes o 3², que dá 9... mais 4 vezes 3 menos 12. Aqui, a gente percebe que 4 vezes 3 é 12, e "12 - 12" vai dar zero. Posso eliminar esses dois termos aqui finais. Agora, vamos fazer umas continhas aritméticas ali, né? 2 vezes 81... o dobro de 81... 162. Agora, aqui, 11 vezes 27 (né?) vai ser negativo o primeiro... 11 vezes 27... eu vou ter que 10 vezes 27, é 270... 1 vez 27 é 27 mesmo... então, 270 mais 27, 297. E, então, nós vamos aqui ter que essa última conta ali: 15 vezes 9 vai dar quanto? 15 vezes 10, 150... e, aí, "150 - 15" vai me dar 135. Então, +135 aqui. Agora, perceba o seguinte aqui: se eu fizer "162 + 135", isso vai me dar 297. E, aqui, eu vou ter -297. Então, quanto vai dar “297 – 297”? Ora, vai dar igual a zero. E aí, como você sabe, o resto deu zero, logo, essa divisão desse polinômio aqui por "x - 3” vai dar uma divisão exata; e, aí, eu posso dizer que, sim, "x - 3” é fator desse polinômio de 4º grau. Até o próximo vídeo.