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Álgebra intermediária (parte 2)
Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 3
Lição 3: Cálculo de divisores comunsFatoração de polinômios com um divisor comum
Aprenda a fatorar um fator comum de uma expressão polinomial. Por exemplo, fatore 6x²+10x como 2x(3x+5).
Conceitos com que você deve estar familiarizado antes dessa lição
O MDC (máximo divisor comum) de dois ou mais monômios é o produto de todos os seus fatores primos em comum. Por exemplo, o MDC de 6, x e 4, x, squared é 2, x.
Se isso é novidade para você, confira nosso artigo sobre máximo divisor comum de monômios.
O que você vai aprender nessa lição
Nessa lição, você aprenderá a fatorar elementos comuns de polinomiais.
A propriedade distributiva: a, left parenthesis, b, plus, c, right parenthesis, equals, a, b, plus, a, c
Para entender como fatorar elementos comuns, devemos entender a propriedade distributiva.
Por exemplo, podemos usar a propriedade distributiva para calcular o produto de 3, x, squared e 4, x, plus, 3, como mostrado abaixo:
Observe como cada termo no binômio foi multiplicado por um fator comum de start color #0c7f99, 3, x, squared, end color #0c7f99.
No entanto, como a propriedade distributiva é uma igualdade, o processo inverso também é verdadeiro!
Se começarmos com 3, x, squared, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, plus, 3, x, squared, left parenthesis, 3, right parenthesis, podemos usar a propriedade distributiva para fatorar start color #0c7f99, 3, x, squared, end color #0c7f99 e obter 3, x, squared, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis.
A expressão resultante está na forma fatorada, porque está escrita como um produto de dois polinômios, enquanto a expressão original é a soma de dois termos.
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Como fatorar o máximo divisor comum (MDC)
Para fatorar o MDC de um polinômio, fazemos o seguinte:
- Calcule o MDC de todos os termos no polinômio.
- Expresse cada termo como um produto do MDC e outro fator.
- Use a propriedade distributiva para fatorar o MDC.
Vamos fatorar o MDC de 2, x, cubed, minus, 6, x, squared.
Etapa 1: Calcule o MDC
- 2, x, cubed, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, x
- 6, x, squared, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, 3, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10
Então, o MDC de 2, x, cubed, minus, 6, x, squared é start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, equals, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99.
Passo 2: Expresse cada termo como um produto de start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99 e outro fator.
- 2, x, cubed, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis
- 6, x, squared, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis
Então, o polinômio pode ser escrito como 2, x, cubed, minus, 6, x, squared, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis.
Passo 3: Fatore o MDC
Agora podemos aplicar a propriedade distributiva para fatorar o start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995.
Como verificar nosso resultado
Podemos verificar nossa fatoração multiplicando 2, x, squared de volta no polinômio.
Como isso é igual ao polinômio original, nossa fatoração está correta!
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Podemos ser mais eficientes?
Se se sentir confortável com o processo de fatoração do MDC, você pode usar um método mais rápido:
Como sabemos qual é o MDC, a forma fatorada é simplesmente o produto entre esse MDC e a soma dos termos do polinômio original dividido pelo MDC.
Veja, por exemplo, como podemos usar este método rápido para fatorar 5, x, squared, plus, 10, x, cujo MDC é start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99:
Fatoração de fatores binomiais
O fator comum em um polinômio não precisa ser um monômio.
Por exemplo, considere o polinômio x, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, minus, 4, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis.
Observe que o binômio start color #0c7f99, 2, x, minus, 1, end color #0c7f99 é comum aos dois termos. Podemos fatorar isso usando a propriedade distributiva:
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Diferentes tipos de fatoração
Pode parecer que usamos o termo "fator" para descrever vários processos diferentes:
- Nós fatoramos monômios escrevendo-os como um produto de outros monômios. Por exemplo, 12, x, squared, equals, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, right parenthesis.
- Nós fatoramos o MDC de polinômios usando a propriedade distributiva. Por exemplo, 2, x, squared, plus, 12, x, equals, 2, x, left parenthesis, x, plus, 6, right parenthesis.
- Fatoramos fatores binomiais comuns cujo resultado em uma expressão era igual ao produto de dois binômios. Por exemplo:
Embora tenhamos usado técnicas diferentes, em todos os casos estamos escrevendo o polinômio como um produto de dois ou mais fatores. Então, em todos os três exemplos, nós realmente fatoramos o polinômio.
Desafios
Quer participar da conversa?
- Na questão 7, não deveria estar a palavra comprimento no lugar de altura ?(6 votos)
- Sim, provavelmente deve ter sido algum erro de tradução!(6 votos)
- quando eu sei que tem qui trocar o sinal(1 voto)
- Troca-se de sinal quando se muda um termo de posição ou quando está o sinal perante um termo em parêntesis. Por exemplo: x-2=3 (=) x=3 + 2 . Neste caso mudou-se porque mudou de lugar.
Em 2x-9-3+3x = 5x-6 , mas não se mudou de sinal pois não foi para o outro lado de um sinal de igualdade.
Em (2x+3)-(3x+4) = 2x+3-3x-4 -> Repare no "-4" . Mudou-se por que "-" e "+" são diferentes logo vai ser menos. Como tal, mudou-se. Ou também pode imaginar que em vez de um -(3x+4) estava -1(3x+4) por que é a mesma coisa.
Ou seja, muda-se quando se troca um termo (número, produto de uma variável) para o outro lado de qualquer sinal de igualdade (igual, menor que, maior que); muda-se também quando está um sinal á frente de termos sob-parêntesis; e muda-se quando vai estar dois sinais juntos que são diferentes (menos com mais dá menos , menos com menos dá mais, mais com mais dá mais).
Espero que tenha ajudado!(2 votos)
- Por que quando fazemos MDC precisamos ver quais os números PRIMOS estão em comum entre os polinômios/monômios? Por que não é qualquer número?(1 voto)
- Decompomos em fatores primos porque queremos tomar o máximo divisor comum, isto é, queremos que não haja nenhum divisor maior que o que estamos determinando. Outros números darão um divisor comum também, mas apenas números primos determinam o máximo divisor.(2 votos)
- qual é a respostas?(1 voto)
- Por que na questão 4 se eu fizer x(x(3)-8x(2)+X) não está certo? Os números em parênteses são as potências(1 voto)
- Não é que não esteja certo, é que o exercício busca uma fatoração completa, ou seja, fatorar pelo maior divisor comum (MDC). Logo, como "x¹" não é o MDC do polinômio, a questão não fora considerada correta.
Acredito que você tenha colocado apenas "x¹" como fator pois acreditou que precisava manter o último "x¹" que estava na expressão do exercício. Você pode, e incluisve, para o caso deste exercício, deve continuar a fatorar, colocando como fator "x²" e deixando este último "x¹" como 1, para demonstrar que este número também deve ser multiplicado por "x²". Sempre que o MDC for um dos monômios, este deve ser escrito como "1", para ser multiplicado pelo fator.
Espero ter ajudado(0 votos)
- Eu sei que quando tem dois x ao quadrado e dividimos o resultado é 1(0 votos)