Na questão 7, não deveria estar a palavra *comprimento* no lugar de *altura* ?

Sim, provavelmente deve ter sido algum erro de tradução!

Por que quando fazemos MDC precisamos ver quais os números PRIMOS estão em comum entre os polinômios/monômios? Por que não é qualquer número?

Decompomos em fatores primos porque queremos tomar o máximo divisor comum, isto é, queremos que não haja nenhum divisor maior que o que estamos determinando. Outros números darão um divisor comum também, mas apenas números primos determinam o máximo divisor.

quando eu sei que tem qui trocar o sinal

Troca-se de sinal quando se muda um termo de posição ou quando está o sinal perante um termo em parêntesis. Por exemplo: x-2=3 (=) x=3 + 2 . Neste caso mudou-se porque mudou de lugar. Em 2x-9-3+3x = 5x-6 , mas não se mudou de sinal pois não foi para o outro lado de um sinal de igualdade. Em (2x+3)-(3x+4) = 2x+3-3x-4 -> Repare no "-4" . Mudou-se por que "-" e "+" são diferentes logo vai ser menos. Como tal, mudou-se. Ou também pode imaginar que em vez de um -(3x+4) estava -1(3x+4) por que é a mesma coisa. Ou seja, muda-se quando se troca um termo (número, produto de uma variável) para o outro lado de qualquer sinal de igualdade (igual, menor que, maior que); muda-se também quando está um sinal á frente de termos sob-parêntesis; e muda-se quando vai estar dois sinais juntos que são diferentes (menos com mais dá menos , menos com menos dá mais, mais com mais dá mais). Espero que tenha ajudado!

Conteúdo principal

Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 3

Lição 3: Cálculo de divisores comuns

Fatoração de polinômios com um divisor comum

Google Sala de Aula

Aprenda a fatorar um fator comum de uma expressão polinomial. Por exemplo, fatore 6x²+10x como 2x(3x+5).

Conceitos com que você deve estar familiarizado antes dessa lição

O MDC (máximo divisor comum) de dois ou mais monômios é o produto de todos os seus fatores primos em comum. Por exemplo, o MDC de

6 x

4 x^{2}

2 x

Se isso é novidade para você, confira nosso artigo sobre máximo divisor comum de monômios.

O que você vai aprender nessa lição

Nessa lição, você aprenderá a fatorar elementos comuns de polinomiais.

A propriedade distributiva: $a (b + c) = a b + a c$ ‍

Para entender como fatorar elementos comuns, devemos entender a propriedade distributiva.

Por exemplo, podemos usar a propriedade distributiva para calcular o produto de

3 x^{2}

4 x + 3

, como mostrado abaixo:

3 \overset{⏜}{\overset{⏜}{x^{2} (4 x + 3) = 3} x^{2} (4 x) + 3} x^{2} (3)

Observe como cada termo no binômio foi multiplicado por um fator comum de

3 x^{2}

No entanto, como a propriedade distributiva é uma igualdade, o processo inverso também é verdadeiro!

3 \overset{⏜}{x^{2} (4 x) + 3 \overset{⏜}{x^{2} (3) = 3}} x^{2} (4 x + 3)

Se começarmos com

3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} (3)

, podemos usar a propriedade distributiva para fatorar

3 x^{2}

e obter

3 x^{2} (4 x + 3)

A expressão resultante está na forma fatorada, porque está escrita como um produto de dois polinômios, enquanto a expressão original é a soma de dois termos.

Teste seu conhecimento

Problema 1

Escreva $2 x (3 x) + 2 x (5)$ ‍ na forma fatorada.

Como fatorar o máximo divisor comum (MDC)

Para fatorar o MDC de um polinômio, fazemos o seguinte:

Calcule o MDC de todos os termos no polinômio.
Expresse cada termo como um produto do MDC e outro fator.
Use a propriedade distributiva para fatorar o MDC.

Vamos fatorar o MDC de

2 x^{3} - 6 x^{2}

Etapa 1: Calcule o MDC

$2 x^{3} = 2 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$6 x^{2} = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍

Então, o MDC de

2 x^{3} - 6 x^{2}

2 \cdot x \cdot x = 2 x^{2}

Passo 2: Expresse cada termo como um produto de $2 x^{2}$ ‍ e outro fator.

$2 x^{3} = (2 x^{2}) (x)$ ‍
$6 x^{2} = (2 x^{2}) (3)$ ‍

Então, o polinômio pode ser escrito como

2 x^{3} - 6 x^{2} = (2 x^{2}) (x) - (2 x^{2}) (3)

Passo 3: Fatore o MDC

Agora podemos aplicar a propriedade distributiva para fatorar o

2 x^{2}

2 \overset{⏜}{x^{2} (x) - 2 \overset{⏜}{x^{2} (3) = 2}} x^{2} (x - 3)

Como verificar nosso resultado

Podemos verificar nossa fatoração multiplicando

2 x^{2}

de volta no polinômio.

2 \overset{⏜}{\overset{⏜}{x^{2} (x - 3) = 2} x^{2} (x) - 2} x^{2} (3)

Como isso é igual ao polinômio original, nossa fatoração está correta!

Teste seu conhecimento

Problema 2

Fatore o máximo divisor comum de $12 x^{2} + 18 x$ ‍.

Problema 3

Fatore o máximo divisor comum do seguinte polinômio.

10 x^{2} + 25 x + 15 =

Problema 4

Fatore o máximo divisor comum do seguinte polinômio.

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2} =

Podemos ser mais eficientes?

Se se sentir confortável com o processo de fatoração do MDC, você pode usar um método mais rápido:

Como sabemos qual é o MDC, a forma fatorada é simplesmente o produto entre esse MDC e a soma dos termos do polinômio original dividido pelo MDC.

Veja, por exemplo, como podemos usar este método rápido para fatorar

5 x^{2} + 10 x

, cujo MDC é

5 x

5 x^{2} + 10 x = 5 x (\frac{5 x^{2}}{5 x} + \frac{10 x}{5 x}) = 5 x (x + 2)

Fatoração de fatores binomiais

O fator comum em um polinômio não precisa ser um monômio.

Por exemplo, considere o polinômio

x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1)

Observe que o binômio

2 x - 1

é comum aos dois termos. Podemos fatorar isso usando a propriedade distributiva:

x (2 x \overset{⏜}{- 1) - 4 (2 x \overset{⏜}{- 1) = (x - 4) (2 x -}} 1)

Teste seu conhecimento

Problema 5

Fatore o máximo divisor comum do seguinte polinômio.

2 x (x + 3) + 5 (x + 3) =

Diferentes tipos de fatoração

Pode parecer que usamos o termo "fator" para descrever vários processos diferentes:

Nós fatoramos monômios escrevendo-os como um produto de outros monômios. Por exemplo, $12 x^{2} = (4 x) (3 x)$ ‍.
Nós fatoramos o MDC de polinômios usando a propriedade distributiva. Por exemplo, $2 x^{2} + 12 x = 2 x (x + 6)$ ‍.
Fatoramos fatores binomiais comuns cujo resultado em uma expressão era igual ao produto de dois binômios. Por exemplo:

x (x + 1) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x + 2)

Embora tenhamos usado técnicas diferentes, em todos os casos estamos escrevendo o polinômio como um produto de dois ou mais fatores. Então, em todos os três exemplos, nós realmente fatoramos o polinômio.

Desafios

Problema 6

Fatore o máximo divisor comum do seguinte polinômio.

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2} =

Problema 7

Um grande retângulo com área de

14 x^{4} + 6 x^{2}

metros quadrados está dividido em dois retângulos menores com áreas de

14 x^{4}

6 x^{2}

metros quadrados.

A largura do retângulo (em metros) é igual ao máximo divisor comum de

14 x^{4}

6 x^{2}

Quais são o comprimento e a largura do retângulo grande?

Largura =

metros

Comprimento =

metros

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Vagner Silva
Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “Na questão 7, não deveria...” de Vagner Silva
Na questão 7, não deveria estar a palavra comprimento no lugar de altura ?
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- Levi Jesus
  Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “Sim, provavelmente deve t...” de Levi Jesus
  Sim, provavelmente deve ter sido algum erro de tradução!
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Nathan
Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “Por que quando fazemos MD...” de Nathan
Por que quando fazemos MDC precisamos ver quais os números PRIMOS estão em comum entre os polinômios/monômios? Por que não é qualquer número?
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- Miguel Silva
  Publicado há há 3 anos. Link direto para a postagem “Decompomos em fatores pri...” de Miguel Silva
  Decompomos em fatores primos porque queremos tomar o máximo divisor comum, isto é, queremos que não haja nenhum divisor maior que o que estamos determinando. Outros números darão um divisor comum também, mas apenas números primos determinam o máximo divisor.
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analopes23
Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “quando eu sei que tem qui...” de analopes23
quando eu sei que tem qui trocar o sinal
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- Luís Filipe Ribeiro
  Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “Troca-se de sinal quando ...” de Luís Filipe Ribeiro
  Troca-se de sinal quando se muda um termo de posição ou quando está o sinal perante um termo em parêntesis. Por exemplo: x-2=3 (=) x=3 + 2 . Neste caso mudou-se porque mudou de lugar.
  Em 2x-9-3+3x = 5x-6 , mas não se mudou de sinal pois não foi para o outro lado de um sinal de igualdade.
  Em (2x+3)-(3x+4) = 2x+3-3x-4 -> Repare no "-4" . Mudou-se por que "-" e "+" são diferentes logo vai ser menos. Como tal, mudou-se. Ou também pode imaginar que em vez de um -(3x+4) estava -1(3x+4) por que é a mesma coisa.
  Ou seja, muda-se quando se troca um termo (número, produto de uma variável) para o outro lado de qualquer sinal de igualdade (igual, menor que, maior que); muda-se também quando está um sinal á frente de termos sob-parêntesis; e muda-se quando vai estar dois sinais juntos que são diferentes (menos com mais dá menos , menos com menos dá mais, mais com mais dá mais).
  Espero que tenha ajudado!
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pet17.gustavoelizalde
Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “quanto é 5+5?” de pet17.gustavoelizalde
quanto é 5+5?
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- Henrique da Silva Ronzani
  Publicado há há 3 anos. Link direto para a postagem “5+5=+√100” de Henrique da Silva Ronzani
  5+5=+√100
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machado.barreto
Publicado há há um ano. Link direto para a postagem “qual é a respostas?” de machado.barreto
qual é a respostas?
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Nathalia Patez França
Publicado há há 3 anos. Link direto para a postagem “Por que na questão 4 se e...” de Nathalia Patez França
Por que na questão 4 se eu fizer x(x(3)-8x(2)+X) não está certo? Os números em parênteses são as potências
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- Gustavo Globig
  Publicado há há 2 anos. Link direto para a postagem “Não é que não esteja cert...” de Gustavo Globig
  Não é que não esteja certo, é que o exercício busca uma fatoração completa, ou seja, fatorar pelo maior divisor comum (MDC). Logo, como "x¹" não é o MDC do polinômio, a questão não fora considerada correta.
  
  Acredito que você tenha colocado apenas "x¹" como fator pois acreditou que precisava manter o último "x¹" que estava na expressão do exercício. Você pode, e incluisve, para o caso deste exercício, deve continuar a fatorar, colocando como fator "x²" e deixando este último "x¹" como 1, para demonstrar que este número também deve ser multiplicado por "x²". Sempre que o MDC for um dos monômios, este deve ser escrito como "1", para ser multiplicado pelo fator.
  
  Espero ter ajudado
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kailaynnemacena
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Eu sei que quando tem doi...” de kailaynnemacena
Eu sei que quando tem dois x ao quadrado e dividimos o resultado é 1
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iago lindo
Publicado há há 10 meses. Link direto para a postagem “nao gostei” de iago lindo
nao gostei
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