Fatoração com substituição

RKA4JL - Fala, galera da Khan Academy! Então, neste vídeo continuaremos a falar um pouco sobre fatoração polinomial. Desta vez nós iremos abordar a fatoração por substituição. Vamos lá. O seguinte exercício nos pede que fatoremos a expressão (x mais 7)² mais 2y² vezes (x mais 7) mais y⁴. O exercício também nos diz que podemos fatorar a expressão como (u mais v)², onde "u" e "v" são valores constantes ou expressões de apenas uma variável cada. Então, neste momento eu peço que você pause o vídeo e tente resolver por conta própria. Vamos lá. Primeiramente, nós temos que olhar a expressão polinomial dada pelo exercício e nos perguntar como nós a vemos em termos de (u mais v)². Bom, um jeito de facilitar o desenvolvimento desse exercício é desenvolver este binômio aqui, (u mais v)². Nós já vimos muitas vezes esse tipo de expressão. Então, esse (u mais v)² será u² mais 2 vezes o primeiro vezes segundo, ou seja, mais 2uv, mais 2 vezes o quadrado do segundo, v². A pergunta que fica é: essa expressão aqui do quadrado do binômio realmente corresponde de alguma forma ao nosso polinômio? Podemos começar a ver que sim a partir deste primeiro termo aqui, já que se (x mais 7)² for igual a u², então teremos que u é igual a x mais 7. Aplicando essa mesma linha de raciocínio para o último termo, nós chegaremos à nossa resposta. Então de acordo com o desenvolvimento do nosso binômio aqui de cima, este último termo, y⁴, deve ser igual a v². Então temos que o nosso v será y². Agora esse método de fatoração nos permite, no caso do binômio, confirmar os nossos resultados com o termo aqui no meio, já que sabemos que esse termo aqui deve ser igual a 2 vezes u vezes v, que é justamente o 2y² vezes (x mais 7). Então concluímos aqui que essa expressão polinomial, de fato, corresponde ao padrão proposto pelo exercício. Agora, usando esse u e esse v que nós achamos, podemos fatorar a expressão. Então usando o binômio como base, teremos (x mais 7) (e eu até vou utilizar e parênteses aqui) mais y², tudo elevado ao quadrado. Vale lembrar que nós poderíamos escrever essa função sem utilizar os parênteses, pois seria a mesma coisa. Vamos, então, fazer outro exemplo. Aqui novamente o exercício nos propõe a fatoração de uma expressão, expressão essa que é 4x² menos 9y². Só que dessa vez o exercício nos diz que a fatoração pode ser realizada como (u mais v) vezes (u menos v), e não pelo quadrado binômio, como foi lá no exemplo anterior, e lembrando que u e v são valores constantes ou expressões de apenas uma variável. Como sempre, eu peço que você pause esse vídeo e tente resolver por conta própria. Pronto? Vamos lá! Assim como no exercício anterior, nós iremos olhar primeiro para essa expressão aqui e tentar ver como ela encaixa na expressão em função de u e v que o exercício nos deu. Sabemos que essa expressão que o exercício nos deu nada mais é do que uma diferença de quadrados, já que essa multiplicação vai dar justamente a diferença do quadrado de u pelo quadrado de v. Então, sabendo disso, podemos dizer que 4x² será u² e 9y² será v². Com isso, u é igual 2x, que a raiz quadrada de 4x², e da mesma forma v será 3y. Com isso temos a primeira parte do exercício feita, então podemos agora realmente fatorar a expressão. (u mais v) seria (2x mais 3y) e (u menos v) seria (2 x menos 3y). Então está aí a forma fatorada da expressão polinomial que o exercício nos deu: (2x mais 3y) vezes (2 x menos 3y). Então, galera, neste vídeo nosso fatoramos duas expressões um tanto quanto complexas de forma muito fácil utilizando a fatoração pelo método da substituição. Então é isso, galera. Nós nos vemos aqui pela Khan!