Identificação de padrões de fatoração de expressões do segundo grau

RKA8JV - Olá, pessoal! Tudo bem? Temos aqui alguns exercícios a serem resolvidos. Primeiro, queremos fatorar a seguinte expressão: 9x⁸ + 6x⁴y + y². Qual o padrão que podemos utilizar para fatorar a expressão? Eu recomendo que você pause a aula e tente sozinho primeiro. Agora, vamos juntos. No enunciado, ao solicitar a fatoração, ele expressa que quer saber se alguma expressão pode, de forma geral, formar um padrão que combine com a expressão que temos em cima. E nós podemos, obviamente, usar a expressão de cima para fatorar até chegar à expressão solicitada no enunciado. Vamos começar com (U + V)² ou (U - V)². Você provavelmente já deve estar acostumado a ver binômios ao quadrado, e nesta situação, o nosso (U + V)² será igual a U² + 2UV + V². Caso você observe de forma atenciosa o polinômio da esquerda, você consegue notar que esta expressão tem o formato da que fizemos à direita, e eu vou te explicar como. Se observar, o 9x⁸, como o "U", isso significa que U = 3x⁴, e se você fizer esta expressão ao quadrado, você vai conseguir o 9x⁸. Agora para y², se visualizá-lo como V², isso significa que "V = y". Agora, para 2vezes UV, se multiplicamos 3x⁴ com "y", vamos conseguir 3x⁴y. E como é 2 vezes UV, temos a expressão 6x⁴y. Assim, a resposta correta é a "A". Para o próximo, queremos fatorar a expressão 4x⁶ + 10x³y + 25. Mais uma vez, seria legal você pausar o vídeo e tentar sozinho primeiro. Agora, vamos juntos. Temos esta nova expressão e novamente precisamos chegar ao padrão correto, e mais uma vez, temos três termos. Talvez possamos usar a opção "A" novamente. Vamos verificar. Se o primeiro termo é U², significa que temos 2x³. Se o terceiro é V², temos o 5. Por fim, o segundo, que temos o 2 vezes UV, mas como temos um "y", isso quebra totalmente nossa ideia de usar a alternativa "A", já que não teríamos um padrão que bate com o necessário. E a alternativa "B" também não chega a ser viável aqui, já que como vimos antes, seria "U² - V²", o que não corresponde com o que precisamos. Por fim, a alternativa "C" é a resposta correta, já que nenhum dos padrões que temos disponíveis responde este exercício. Vamos para um outro exercício. Queremos fatorar a expressão 36x⁴ - (y + 3)². E, mais uma vez, seria legal você pausar o vídeo e tentar sozinho primeiro. Agora, vamos juntos. Temos esta outra expressão, e, diferente das outras, ela possui somente dois termos, e ambos parecem que são quadrados de alguma coisa, e temos uma diferença de quadrados. Com estas informações, já é possível pensar na alternativa "B" como correta. Porém, vamos confirmar se é isso mesmo. Se nos lembramos bem, (U + V) vezes (U - V) é U² - V². Se o nosso primeiro termo é U², isso significa que seria 6x². E se o nosso segundo termo é V², significa que seria então ''y + 3". Dessa forma, conseguimos confirmar que a alternativa correta é a "B'', E é legal notar que, já que o enunciado só pede o padrão, o exercício acaba sendo bem mais direto, já que não precisamos fatorar diretamente. Mas, por exemplo, caso fossemos à essa situação, podemos dizer que a expressão é igual a (6x² + (y + 3))(6x² - (y +3)). Eu espero, inclusive, que tenha ficado um pouco mais claro para você que usamos esse padrão para fatorar este polinômio de grau alto, que essencialmente é só a diferença de dois quadrados. Vamos, agora, para o nosso último exercício, que iremos fatorar a seguinte expressão: 49 - 10x³. E como você já sabe, é melhor pausar o vídeo primeiro para tentar sozinho. E vamos lá. Nesta expressão, parece que talvez tenha uma diferença de dois quadrados. Vamos verificar. Se colocamos "U = 7" para o primeiro termo, temos o 49, mas para o segundo, que seria o "V", que quadrado que iria nos deixar em 10x³? Se pegamos a raiz quadrada de 10x³, vamos ter √10 vezes √x³, o que no fim diz para nós que não vamos conseguir um número inteiro, e por isso, pouco adianta para nós. No fim, a única alternativa correta neste exercício é a alternativa "C". É isso, pessoal. Eu espero que tenham aprendido, e até a próxima!