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Álgebra intermediária (parte 2)

Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 3

Lição 2: Máximo divisor comum
Matemática
Álgebra intermediária (parte 2)
Fatoração de polinômios
Máximo divisor comum
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Máximo divisor comum de monômios

Google Sala de Aula
Aprenda a encontrar o MDC (Máximo Divisor Comum) de dois ou mais monômios.

Com o que você deve estar familiarizado antes dessa lição

Um monômio é uma expressão que consiste no produto de constantes por potências inteiras e não negativas de x, como por exemplo 3, x, squared. Um polinômio é uma soma de monômios.
Você pode escrever a fatoração completa de um monômio escrevendo a fatoração em números primos do coeficiente e expandindo a parte variável. Confira nosso artigo Fatoração de monômios se isso for novidade para você.

O que você vai aprender nessa lição

Nessa lição, você vai aprender sobre o máximo divisor comum (MDC) e como determiná-lo para monômios.

Revisão: máximo divisor comum de números inteiros

O máximo divisor comum de dois números é o maior número inteiro que é um divisor de ambos os números. Por exemplo, o MDC de 12 e 18 é 6.
Podemos encontrar o MDC de dois números quaisquer por meio do exame de suas fatorações em números primos:
  • 12, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, 2, dot, start color #e07d10, 3, end color #e07d10
  • 18, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, dot, 3
Observe que 12 e 18 têm um divisor de start color #11accd, 2, end color #11accd e um divisor de start color #e07d10, 3, end color #e07d10 em comum, portanto, o máximo divisor comum de 12 e 18 é start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, equals, 6.

Máximo divisor comum de monômios

O processo é semelhante quando você precisa encontrar o máximo divisor comum de dois ou mais monômios.
Basta escrever a fatoração completa de cada monômio e encontrar os divisores comuns. O produto de todos os divisores comuns será o MDC.
Por exemplo, vamos encontrar o máximo divisor comum de 10, x, cubed e 4, x:
  • 10, x, cubed, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, 5, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, x, dot, x
  • 4, x, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, 2, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10
Observe que 10, x, cubed e 4, x têm um divisor de start color #11accd, 2, end color #11accd e um divisor de start color #e07d10, x, end color #e07d10 em comum. Portanto, o máximo divisor comum deles é start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10 ou 2, x.

Teste seu conhecimento

1) Qual é o máximo divisor comum de 9, x, squared e 6, x?
Escolha 1 resposta:

2) Qual é o máximo divisor comum de 12, x, start superscript, 5, end superscript e 8, x, cubed?

3) Qual é o máximo divisor comum de 5, x, start superscript, 7, end superscript, 30, x, start superscript, 4, end superscript e 10, x, cubed?

Uma observação sobre a parte variável do MDC

Em geral, a parte variável do MDC para quaisquer dois ou mais monômios será igual à parte variável do monômio com a menor potência de x.
Por exemplo, considere os monômios start color #11accd, 6, end color #11accd, start color #e07d10, x, start superscript, 5, end superscript, end color #e07d10 e start color #11accd, 4, end color #11accd, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10:
  • Como a menor potência de x é start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, esta será a parte variável do MDC.
  • Então, você pode encontrar o MDC de start color #11accd, 6, end color #11accd e start color #11accd, 4, end color #11accd, que é start color #11accd, 2, end color #11accd, e multiplicá-lo por start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10 para obter start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, o MDC dos monômios!
O MDC de 6 e 4 eˊ 2A menor poteˆncia de x5 e x2 eˊ x2↘↙MDC(6x5,4x2)=2x2\begin{aligned} \text{O MDC de }\blueD 6\text{ e }\blueD 4\text{ é }\blueD 2\qquad&\quad\text{A menor potência de }\goldD{x^5}\text{ e }\goldD{x^2}\text{ é }\goldD{x^2} \\ \searrow\quad&\quad\swarrow \\ \LARGE\text{MDC}(\blueD 6\goldD{x^5},\blueD 4\goldD{x^2})=\blueD 2&\LARGE \goldD{x^2} \end{aligned}
É especialmente útil entender isso na hora de calcular o MDC de monômios com potências de x muito grandes. Por exemplo, seria muito tedioso fatorar completamente monômios como 32, x, start superscript, 100, end superscript e 16, x, start superscript, 88, end superscript!

Desafios

4*) Qual é o máximo divisor comum de 20, x, start superscript, 76, end superscript e 8, x, start superscript, 92, end superscript?

5*) Qual é o máximo divisor comum de 40, x, start superscript, 5, end superscript, y, squared e 32, x, squared, y, cubed?

O que vem agora?

Para saber como podemos usar essas habilidades para fatorar polinômios, confira nosso próximo artigo sobre fatoração do máximo divisor comum!

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