If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Máximo divisor comum de monômios

Aprenda a encontrar o MDC (Máximo Divisor Comum) de dois ou mais monômios.

Com o que você deve estar familiarizado antes dessa lição

Um monômio é uma expressão que consiste no produto de constantes por potências inteiras e não negativas de x, como por exemplo 3, x, squared. Um polinômio é uma soma de monômios.
Você pode escrever a fatoração completa de um monômio escrevendo a fatoração em números primos do coeficiente e expandindo a parte variável. Confira nosso artigo Fatoração de monômios se isso for novidade para você.

O que você vai aprender nessa lição

Nessa lição, você vai aprender sobre o máximo divisor comum (MDC) e como determiná-lo para monômios.

Revisão: máximo divisor comum de números inteiros

O máximo divisor comum de dois números é o maior número inteiro que é um divisor de ambos os números. Por exemplo, o MDC de 12 e 18 é 6.
Podemos encontrar o MDC de dois números quaisquer por meio do exame de suas fatorações em números primos:
  • 12, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, 2, dot, start color #e07d10, 3, end color #e07d10
  • 18, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, dot, 3
Observe que 12 e 18 têm um divisor de start color #11accd, 2, end color #11accd e um divisor de start color #e07d10, 3, end color #e07d10 em comum, portanto, o máximo divisor comum de 12 e 18 é start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, equals, 6.

Máximo divisor comum de monômios

O processo é semelhante quando você precisa encontrar o máximo divisor comum de dois ou mais monômios.
Basta escrever a fatoração completa de cada monômio e encontrar os divisores comuns. O produto de todos os divisores comuns será o MDC.
Por exemplo, vamos encontrar o máximo divisor comum de 10, x, cubed e 4, x:
  • 10, x, cubed, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, 5, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, x, dot, x
  • 4, x, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, 2, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10
Observe que 10, x, cubed e 4, x têm um divisor de start color #11accd, 2, end color #11accd e um divisor de start color #e07d10, x, end color #e07d10 em comum. Portanto, o máximo divisor comum deles é start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10 ou 2, x.

Teste seu conhecimento

1) Qual é o máximo divisor comum de 9, x, squared e 6, x?
Escolha 1 resposta:

2) Qual é o máximo divisor comum de 12, x, start superscript, 5, end superscript e 8, x, cubed?

3) Qual é o máximo divisor comum de 5, x, start superscript, 7, end superscript, 30, x, start superscript, 4, end superscript e 10, x, cubed?

Uma observação sobre a parte variável do MDC

Em geral, a parte variável do MDC para quaisquer dois ou mais monômios será igual à parte variável do monômio com a menor potência de x.
Por exemplo, considere os monômios start color #11accd, 6, end color #11accd, start color #e07d10, x, start superscript, 5, end superscript, end color #e07d10 e start color #11accd, 4, end color #11accd, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10:
  • Como a menor potência de x é start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, esta será a parte variável do MDC.
  • Então, você pode encontrar o MDC de start color #11accd, 6, end color #11accd e start color #11accd, 4, end color #11accd, que é start color #11accd, 2, end color #11accd, e multiplicá-lo por start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10 para obter start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, o MDC dos monômios!
O MDC de 6 e 4 eˊ 2A menor poteˆncia de x5 e x2 eˊ x2MDC(6x5,4x2)=2x2\begin{aligned} \text{O MDC de }\blueD 6\text{ e }\blueD 4\text{ é }\blueD 2\qquad&\quad\text{A menor potência de }\goldD{x^5}\text{ e }\goldD{x^2}\text{ é }\goldD{x^2} \\ \searrow\quad&\quad\swarrow \\ \LARGE\text{MDC}(\blueD 6\goldD{x^5},\blueD 4\goldD{x^2})=\blueD 2&\LARGE \goldD{x^2} \end{aligned}
É especialmente útil entender isso na hora de calcular o MDC de monômios com potências de x muito grandes. Por exemplo, seria muito tedioso fatorar completamente monômios como 32, x, start superscript, 100, end superscript e 16, x, start superscript, 88, end superscript!

Desafios

4*) Qual é o máximo divisor comum de 20, x, start superscript, 76, end superscript e 8, x, start superscript, 92, end superscript?

5*) Qual é o máximo divisor comum de 40, x, start superscript, 5, end superscript, y, squared e 32, x, squared, y, cubed?

O que vem agora?

Para saber como podemos usar essas habilidades para fatorar polinômios, confira nosso próximo artigo sobre fatoração do máximo divisor comum!

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.