Problemas de série geométrica: caminhada

RKA22JL - Olá, tudo bem? Você vai assistir agora a mais uma aula de matemática e, nesta aula, vamos resolver um exemplo sobre série geométrica. Esse exemplo diz o seguinte: “Sara realizou uma caminhada de 4 dias. A cada dia, ela caminhava 20% a mais do que a distância que ela caminhou no dia anterior. Ela caminhou 27 quilômetros no total (27 km). Qual é a distância que Sara andou no primeiro dia da viagem? Arredonde a resposta final para o quilômetro mais próximo. Como sempre, pause o vídeo e tente encontrar a resposta. Ok. Tentou? Vamos fazer juntos agora? Inicialmente, vamos chamar o valor que ela caminhou no primeiro dia de "a" , e, com isso, vamos montar uma expressão para determinar o quanto ela caminhou no total. Lembrando que, no total, ela caminhou 27 quilômetros. Com essa expressão, vamos ver se conseguimos resolver. Então, no primeiro dia, ela andou “a” quilômetros. E no segundo dia? Foi dito que, a cada dia, ela caminhou 20% a mais do que ela caminhou no dia anterior, então, no dia seguinte, ela vai andar 20% a mais do que ela caminhou no dia anterior, que foi “a” quilômetros. Então, teremos aqui 1,2 vezes "a" . E quanto ao dia depois disso? Ou seja, no terceiro dia? Isso vai ser 1,2 vezes o que foi caminhado no segundo dia. Sendo assim, teremos aqui 1,2 vezes 1,2 ou, de forma mais simples, podemos dizer 1,2 ao quadrado vezes "a". E quanto no quarto dia? Como vimos, ela realizou uma caminhada de 4 dias, então esse é o último dia. Isso vai ser 1,2 vezes o que foi caminhado no terceiro dia. Então isso vai ser 1,2 elevado à terceira potência vezes "a" . Ótimo. Essa é uma expressão para determinar o quanto ela caminhou nos quatro dias, e sabemos que ela caminhou um total de 27 quilômetros. Então isso vai ser igual a 27 quilômetros. Agora você pode resolver isso e encontrar o “a” aqui. Para isso, você pode fatorar o "a", e, com isso, ter "a" vezes 1, mais 1,2, mais 1,2 ao quadrado, mais 1,2 à terceira potência, e tudo isso sendo igual a 27. Dessa forma, teremos aqui que a é igual a 27 sobre 1, mais 1,2, mais 1,2 ao quadrado, mais 1,2 à terceira potência. Sem dúvida, precisaríamos de uma calculadora para fazer o cálculo, mas fazendo assim chegaríamos à resposta tranquilamente. O caso é que eu vou usar aqui uma técnica diferente, que vai funcionar mesmo quando tivermos 20 termos aqui. Não seria muito difícil fazer o cálculo dessa forma que fiz com 20 termos, mas imagine se tivéssemos aqui 200 termos. Isso ficaria incrivelmente mais difícil, não é? Com a outra forma, vai ficar bem mais simples. Mas que maneira diferente é essa? Podemos resolver esse problema através da fórmula de uma série geométrica finita e o que isso faz? Basicamente, isso realiza a soma dos primeiros n termos, e, para fazer isso, teremos a seguinte expressão. "a", que vai ser o primeiro termo, menos “a” vezes a nossa proporção comum, que chamamos de r, mas em nosso caso é 1,2, já que cada termo sucessivo é igual a 1,2 vezes o termo anterior. Sendo assim, podemos colocar aqui o r elevado à enésima potência. Tudo isso sobre 1 menos a proporção comum, r. Em outros vídeos, explicamos de onde vem isso, mas, aqui, estamos apenas utilizando isso para resolver um problema de aplicação. Já sabemos o que é o nosso "a", e usei isso aqui como a nossa variável. Nossa proporção comum nessa situação vai ser igual a 1,2 e o nosso n vai ser igual a 4. Outra forma que eu gosto de pensar sobre isso é que temos aqui o nosso primeiro termo, que nós vemos aqui, e aí isso menos o último termo. Se tivéssemos um quinto termo aqui, o utilizaríamos. Tudo isso sobre 1, menos a proporção comum. Com isso, esse lado esquerdo da nossa equação pode ser reescrito da seguinte forma: "a" menos "a" vezes 1,2, elevado à quarta potência e tudo isso sobre um menos a nossa proporção comum, que é 1,2. E isso é igual a 27. Repare que podemos simplificar isso aqui um pouco. Aqui no denominador, teremos -0,2 e, no numerador, podemos fatorar o "a". Isso vai ser igual a “a” vezes 1, menos 1,2 elevado à quarta potência. Podemos multiplicar o numerador e o denominador por -1. Eu vou colocar aqui o "a" fora da fração. Temos aqui o "a" vezes... Eu vou trocar as posições para nos livrarmos do negativo. Então teremos aqui 1,2 elevado à quarta potência menos 1 sobre 0,2. Tudo isso é igual a 27. Novamente, tudo que eu fiz aqui foi colocar o “a” multiplicando a fração. Então eu multipliquei o numerador e o denominador por -1. O numerador multiplicado por -1 faz com que os sinais desses termos no numerador sejam trocados, por isso troquei-os de posição, para ficar melhor. E, claro, multiplicando o -0,2 por -1, obtemos 0,2 positivo. Agora, eu posso simplesmente multiplicar os dois lados da equação pelo inverso disso aqui. Eu vou fazer aqui. Assim, teremos 0,2 sobre 1,2 elevado à quarta potência menos 1. E do outro lado, a mesma coisa. Multiplicamos isso por 0,2 sobre 1,2 à quarta potência menos 1. Isso aqui cancela com isso, e isso, cancela com isso. Foi exatamente por isso que eu fiz isso aqui. Ficamos com "a" sendo igual a 27 vezes 0,2 sobre 1,2 elevado à quarta potência menos 1. Essa expressão vai nos fornecer exatamente o mesmo valor que a expressão que acabamos de ver, só que, utilizando essa expressão, teremos maior facilidade, pois poderemos fazer isso com muito mais termos. Enfim, vou pegar a calculadora para resolver. Vou calcular esse denominador primeiro. Terei 1,2 elevado à quarta potência, aí, esse resultado aqui menos 1. É isso que temos no denominador. Agora, podemos pegar o inverso disso aqui e multiplicar por 27. Ao encontrar esse resultado, multiplicamos por 0,2. Pronto, chegamos a aproximadamente 5,0298. 5,0298 quilômetros. Porém, a questão está pedindo que a resposta seja arredondada para o quilômetro mais próximo. Então isso vai ser aproximadamente igual a 5 quilômetros. Essa foi a distância percorrida pela Sara no primeiro dia de caminhada. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que vimos aqui e, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!