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Álgebra intermediária (parte 2)
Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 3
Lição 1: Fatoração de monômios- Introdução à fatoração de polinômios de graus superiores
- Introdução à fatoração de monômios de graus superiores
- Qual fatoração de monômios está correta?
- Exemplo resolvido: cálculo do divisor desconhecido de monômios
- Exemplo resolvido: cálculo do monômio do lado desconhecido com modelo de área
- Fatoração de monômios
- Fatoração de monômios
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Introdução à fatoração de polinômios de graus superiores
Primeiramente aprendemos sobre fatoração quando estudamos expressões do segundo grau. Mas também podemos fatorar polinômios cujos graus sejam superiores a 2. Este vídeo introdutório é um resumo de todos os diferentes métodos que usamos para fazer isso.
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - Olá, tudo bem com você? Você vai assistir, agora, a mais
uma aula de matemática. E nesta aula, vamos realizar
uma introdução sobre como fatorar um
polinômio de alto grau. O interessante nisso é que, quando
iniciamos o nosso estudo na álgebra começamos aprendendo a fatorar polinômios, especialmente os polinômios
de segundo grau. Inclusive, a gente aprendeu
que uma expressão como x², pode ser escrita como "x" vezes "x". Também aprendemos a reconhecer
que uma expressão polinomial, como 3x² + 4x, em que ambos os termos têm
o "x" como fator comum, pode ser fatorada e reescrita como
"x" vezes (3x + 4). E também aprendemos
a fazer coisas mais sofisticadas. Aprendemos a fatorar coisas como
x² + 7x + 12. Em casos como este,
podemos dizer o seguinte: ei, quais são os dois números que,
ao somá-los encontraremos 7, e ao multiplicá-los encontraremos 12? Bem, só pode ser
o 3 e o 4, não é? Afinal, ao somar o 3 com o 4,
encontramos 7, e 3 vezes 4 é igual a 12. Aí, sabendo disso, podemos fatorar
esta expressão como (x + 3)(x + 4). Nós também aprendemos coisas
como diferenças de quadrados. Por exemplo, como podemos fatorar x² - 9? Isso pode ser fatorado como
(x + 3)(x - 3). Claro, a gente também poderia
dar uma olhada em outros tipos de
expressões quadráticas, mas à medida nos aprofundamos
em nossa jornada na álgebra, também podemos fatorar expressões
polinomiais de grau superior, incluindo o terceiro grau, o quarto grau,
o quinto grau, e etc. Algo que será muito útil em suas
carreiras matemáticas. Mas vamos começar fazendo isso
olhando algumas das estruturas, alguns dos padrões que você
provavelmente já aprendeu em álgebra. Por exemplo: vamos dizer que você queira
fatorar x³ + 7² + 12x. Como fazer isso? Bem, primeiro você quer dizer: olha, esta expressão polinomial
de terceiro grau parece ser meio intimidante. Até que você percebe que todos esses
termos têm o fator "x" em comum. Então, podemos fatorar este "x", e aí reescrever esta expressão
como "x" vezes (x² + 7x + 12). Agora, isso é exatamente
o que vimos antes. Sendo assim, podemos reescrever isso aqui
como x(x + 3)(x + 4). Ok, agora que vimos isso, vamos ver se somos capazes
de fazer algumas fatorações utilizando uma técnica como essa, ou seja, vamos ir ir fatorando e encontrando estruturas
que são familiares e que nós já vimos na álgebra. Por exemplo, podemos ter algo aqui
como a⁴ + 7a² + 12. Inicialmente, você pode
achar muito difícil, afinal, tem uma potência 4 aqui. Sendo assim, o que podemos fazer? Bem, você pode reescrever isto aqui como
(a²)² + 7a² + 12. Este a² está se parecendo muito
com o "x" que vimos antes. Se isso fosse um "x",
então isso seria x². Se isso fosse "x",
então isso aqui seria apenas um "x". Repare que essas expressões são iguais, então, eu posso fatorar, e ao fazer isso, em todos os lugares
em que a gente vê um "x", a gente pode substituir por a². Olhando para a mesma
estrutura que temos aqui, podemos fatorar, e aí teremos
(a² + 3)(a² + 4). Bem, eu sei que eu estou fazendo
tudo isso um pouco rápido, mas afinal, este vídeo aqui é apenas para te dar
uma noção das coisas. Em outro momento, podemos nos aprofundar um pouco mais em cada um desses casos. Então, para te dar um senso
um pouco melhor das coisas, vamos fazer um outro exemplo aqui e fatorar a partir das estruturas
que já vimos. Sabendo disso, vamos supor que
você queira fatorar 4x⁶ - 9y⁴. Inicialmente, isso parece
ser muito intimidante, até que você percebe que pode
escrever ambos como quadrados, ou seja, podemos escrever
isso aqui como 2x³, e isso elevado ao quadrado, menos 3y², e isso também elevado ao quadrado. Repare que isso agora é apenas
uma diferença de quadrados, então, podemos reescrever isso aqui
como (2x³ + 3y²)(2x³ - 3y²). Legal, não é? Também podemos ter situações
onde nós vamos fatorar várias vezes. Por exemplo, vamos dizer que
queira fatorar x⁴ - y⁴. Bem, com base no que acabamos de ver, você pode perceber que isso
é a mesma coisa que (x²)² - (y²)². Repare que isso é uma diferença
de quadrados. Então, isso vai ser igual a
(x² + y²)(x² - y²). Agora isso aqui fica divertido, porque isto aqui também é
uma diferença de quadrados. Assim, podemos reescrever
tudo isso aqui como, vou reescrever esta primeira parte,
(x² + y²), e aí, fatorando a segunda parte
como uma diferença de quadrados, temos (x + y)(x - y), e pronto, terminamos. Eu sei que te bombardeei com
um monte de informações, mas isso é realmente apenas
para te aquecer, não se estresse agora com isso, porque nós vamos nos
aprofundar muito mais sobre tudo isso que vimos aqui
em diversos outros momentos. Agora, vale a pena você tirar um tempinho para praticar tudo isso que
eu mostrei para você. Eu espero que você tenha compreendido
tudo direitinho o que vimos aqui e, mais uma vez, eu quero deixar
para você um grande abraço, e até a próxima!