Introdução à fatoração de polinômios de graus superiores

RKA8JV - Olá, tudo bem com você? Você vai assistir, agora, a mais uma aula de matemática. E nesta aula, vamos realizar uma introdução sobre como fatorar um polinômio de alto grau. O interessante nisso é que, quando iniciamos o nosso estudo na álgebra começamos aprendendo a fatorar polinômios, especialmente os polinômios de segundo grau. Inclusive, a gente aprendeu que uma expressão como x², pode ser escrita como "x" vezes "x". Também aprendemos a reconhecer que uma expressão polinomial, como 3x² + 4x, em que ambos os termos têm o "x" como fator comum, pode ser fatorada e reescrita como "x" vezes (3x + 4). E também aprendemos a fazer coisas mais sofisticadas. Aprendemos a fatorar coisas como x² + 7x + 12. Em casos como este, podemos dizer o seguinte: ei, quais são os dois números que, ao somá-los encontraremos 7, e ao multiplicá-los encontraremos 12? Bem, só pode ser o 3 e o 4, não é? Afinal, ao somar o 3 com o 4, encontramos 7, e 3 vezes 4 é igual a 12. Aí, sabendo disso, podemos fatorar esta expressão como (x + 3)(x + 4). Nós também aprendemos coisas como diferenças de quadrados. Por exemplo, como podemos fatorar x² - 9? Isso pode ser fatorado como (x + 3)(x - 3). Claro, a gente também poderia dar uma olhada em outros tipos de expressões quadráticas, mas à medida nos aprofundamos em nossa jornada na álgebra, também podemos fatorar expressões polinomiais de grau superior, incluindo o terceiro grau, o quarto grau, o quinto grau, e etc. Algo que será muito útil em suas carreiras matemáticas. Mas vamos começar fazendo isso olhando algumas das estruturas, alguns dos padrões que você provavelmente já aprendeu em álgebra. Por exemplo: vamos dizer que você queira fatorar x³ + 7² + 12x. Como fazer isso? Bem, primeiro você quer dizer: olha, esta expressão polinomial de terceiro grau parece ser meio intimidante. Até que você percebe que todos esses termos têm o fator "x" em comum. Então, podemos fatorar este "x", e aí reescrever esta expressão como "x" vezes (x² + 7x + 12). Agora, isso é exatamente o que vimos antes. Sendo assim, podemos reescrever isso aqui como x(x + 3)(x + 4). Ok, agora que vimos isso, vamos ver se somos capazes de fazer algumas fatorações utilizando uma técnica como essa, ou seja, vamos ir ir fatorando e encontrando estruturas que são familiares e que nós já vimos na álgebra. Por exemplo, podemos ter algo aqui como a⁴ + 7a² + 12. Inicialmente, você pode achar muito difícil, afinal, tem uma potência 4 aqui. Sendo assim, o que podemos fazer? Bem, você pode reescrever isto aqui como (a²)² + 7a² + 12. Este a² está se parecendo muito com o "x" que vimos antes. Se isso fosse um "x", então isso seria x². Se isso fosse "x", então isso aqui seria apenas um "x". Repare que essas expressões são iguais, então, eu posso fatorar, e ao fazer isso, em todos os lugares em que a gente vê um "x", a gente pode substituir por a². Olhando para a mesma estrutura que temos aqui, podemos fatorar, e aí teremos (a² + 3)(a² + 4). Bem, eu sei que eu estou fazendo tudo isso um pouco rápido, mas afinal, este vídeo aqui é apenas para te dar uma noção das coisas. Em outro momento, podemos nos aprofundar um pouco mais em cada um desses casos. Então, para te dar um senso um pouco melhor das coisas, vamos fazer um outro exemplo aqui e fatorar a partir das estruturas que já vimos. Sabendo disso, vamos supor que você queira fatorar 4x⁶ - 9y⁴. Inicialmente, isso parece ser muito intimidante, até que você percebe que pode escrever ambos como quadrados, ou seja, podemos escrever isso aqui como 2x³, e isso elevado ao quadrado, menos 3y², e isso também elevado ao quadrado. Repare que isso agora é apenas uma diferença de quadrados, então, podemos reescrever isso aqui como (2x³ + 3y²)(2x³ - 3y²). Legal, não é? Também podemos ter situações onde nós vamos fatorar várias vezes. Por exemplo, vamos dizer que queira fatorar x⁴ - y⁴. Bem, com base no que acabamos de ver, você pode perceber que isso é a mesma coisa que (x²)² - (y²)². Repare que isso é uma diferença de quadrados. Então, isso vai ser igual a (x² + y²)(x² - y²). Agora isso aqui fica divertido, porque isto aqui também é uma diferença de quadrados. Assim, podemos reescrever tudo isso aqui como, vou reescrever esta primeira parte, (x² + y²), e aí, fatorando a segunda parte como uma diferença de quadrados, temos (x + y)(x - y), e pronto, terminamos. Eu sei que te bombardeei com um monte de informações, mas isso é realmente apenas para te aquecer, não se estresse agora com isso, porque nós vamos nos aprofundar muito mais sobre tudo isso que vimos aqui em diversos outros momentos. Agora, vale a pena você tirar um tempinho para praticar tudo isso que eu mostrei para você. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que vimos aqui e, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!