Introdução às identidades polinomiais

RKA2MP - E aí, galera do Khan Academy! Estamos aqui em mais um vídeo da série sobre polinômios e agora iremos falar um pouco sobre identidades polinomiais. Na verdade, essa é apenas uma maneira mais elaborada de dizer que vamos pegar uma expressão polinomial e checar se ela é Idêntica a outra pressão polinomial. Por exemplo, a esta altura, você já deve estar familiarizado com a expressão x² + 2x +1. Já vimos expressões quadráticas como esta diversas vezes. E talvez você reconheça que esta expressão é igual a (x + 1)². Então, para qualquer que seja o valor de "x", temos que x² + 2x + 1 é igual a pegar este "x", somar 1 e multiplicar por ele mesmo. Nós já vimos isso quando aprendemos os produtos notáveis. Mas agora nós iremos checar esta igualdade com expressões um pouco mais complexas, ou expressões que não são exatamente quadrados perfeitos ou tão óbvias como esta que eu lhes apresentei. E utilizaremos uma certa manipulação algébrica em nossas expressões para checar essa identidade. Como exemplo, nós iremos checar a identidade entre duas expressões aqui. Expressões estas que são, à esquerda: n³ - 1 e, à direita do sinal de igual, (m - 1) vezes (1 + m + m²) Agora eu peço que você pause este vídeo e tente descobrir por conta própria se isto é ou não uma identidade polinomial. Vamos lá: para checarmos se esta é, de fato, uma identidade, nós temos que realizar a multiplicação da expressão que está à direita do sinal de igualdade, aplicando a propriedade distributiva. Então, teremos: "m" vezes 1, que é "m"; "m" vezes "m", que é m², e "m" vezes m², que é m³. E agora nós também fazemos a mesma coisa com o -1. Multiplicando: -1 vezes 1 = -1; -1 vezes "m" é -m e, por fim, -1 vezes m², que é -m². Vamos ver se conseguimos dar uma simplificada na expressão e, por fim, checar a identidade. Temos aqui um "m" e um -m, que se cancelam. Temos também m² e -m², que também podem ser cancelados. Então, o que nos resta nesta expressão aqui à direita é justamente o m³ - 1. Então, de fato, temos aqui uma identidade polinomial. Só para finalizarmos o raciocínio, vamos pegar outro exemplo. Desta vez, vamos checar a identidade entre as seguintes expressões. À esquerda do sinal de igual, teremos: (n + 3)² + 2n e, à direita do sinal de igual, teremos: 8n + 13. Novamente, eu peço que você pause o vídeo e cheque por conta própria se isto é ou não uma identidade polinomial. Beleza, vamos dar uma trabalhada nestas expressões e checar a identidade delas. Podemos começar por subtrair 2n dos dois lados. Então, teremos -2n à esquerda e -2n à direita. Podemos cancelar 2n com -2n à esquerda do sinal e, à direita do sinal, teremos 8n - 2n, que fica 6n. Por fim, aqui teremos (n + 3)² = 6n + 13. Agora, vamos realizar o produto notável que temos aqui à esquerda. Então, teremos: n² + 2 vezes "n" vezes 3 + 3². Caso, neste momento, você não esteja familiarizado com os produtos notáveis e como nós realizamos esta multiplicação, sugiro que você dê uma olhada no conteúdo da Khan Academy sobre produtos notáveis. Temos aqui, então: n² + 6n + 9 de um lado, e, do outro lado, 6n + 13. A partir deste momento, já dá para perceber que algo nesta identidade não está certo. Mas, de qualquer forma, vamos continuar a simplificação entre estas duas expressões. Vamos subtrair 6n dos dois lados. Do lado esquerdo teremos n² + 9 e, do lado direito, teremos apenas 13. No início do vídeo, nós falamos que uma identidade polinomial tem que ser verdade para qualquer valor de "n", ou de "x", ou qualquer que seja a variável em questão. A pergunta que nós temos que fazer neste momento é: existem valores de "n" para os quais esta expressão não é verdadeira? De fato, existem diversos valores para os quais esta expressão não é verdadeira. Por exemplo, se substituirmos "n" por zero, a identidade não é verdadeira. Se substituirmos por 1, ela também continua não sendo verdadeira. Já se substituirmos por 2, esta expressão é verdadeira. Mas, analisando todos os resultados, apenas um dos que nós conseguimos pensar teve a sua identidade comprovada. Então, podemos escrever aqui que esta não é uma identidade polinomial, já que a identidade não é verdadeira para todos os valores de "n". São justamente essas perguntas e passos que você deve tomar para checar a veracidade de uma identidade polinomial. Então, é isso, galera do Khan. Nós nos vemos no próximo vídeo.