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Como descrever relações numéricas com identidades polinomiais

As identidades polinomiais podem ser usadas para explicar ou descrever várias coisas em matemática. Por exemplo, podemos usar identidades para provar que as diferenças entre números quadrados consecutivos (1,4,9,...) são números ímpares consecutivos (1,3,5,...).

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RKA3JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos apender a como descrever relações numéricas utilizando identidades polinomiais. E eu posso colocar aqui uma sequência numérica começando pelo zero. E aí, nós vamos ter zero, 1, 2, 3, 4, 5, e assim por diante. E abaixo, eu vou colocar o quadrado de cada termo da sequência. Zero ao quadrado dá zero, 1² dá 1, 2² dá 4, 3² dá 9, 4² dá 16 e 5² dá 25. E assim por diante. Bem, e antes de pensar em criar um polinômio que represente cada uma dessas sequências, olhe para esta aqui e veja se você consegue descobrir um padrão. Note que de zero até 1, nós somamos 1. De 1 até 4, somamos 3 De 4 até 9, nós somamos 5. E de 9 até 16, nós somamos 7. Observe que o próximo número desta sequência que estamos somando é sempre um número ímpar. Portanto, o próximo termo que temos que somar para chegar ao 25 é o próximo número ímpar depois do 7 que, neste caso, é 9. Então, 16 mais 9 vai dar 25. Com isso, você pode até achar o próximo termo, porque, veja bem, para achar o próximo termo, nós teríamos pegar este 25 e somar com o próximo número ímpar depois do 9 que, neste caso, é 11. 25 + 11 = 36. E é, justamente, 6². Mas, será que esta relação é sempre verdadeira? Para saber isso, nós podemos generalizar escrevendo uma expressão polinomial. Se continuarmos colocando os termos da sequência deste mesmo jeito, nós vamos fazer isso até chegar no termo "n" e, logo depois, vai ter um termo "n +1". Ou seja, para saber o próximo termo, nós sempre pegamos o termo anterior e somamos com 1. E procurando o correspondente de cada um aqui nesta sequência, nós pegamos o "n" e elevamos ao quadrado. E para achar o correspondente do "n + 1", nós o pegamos e o elevamos ao quadrado. E o que eu quero fazer é tentar achar a diferença entre estes dois polinômios. Porque, veja bem, a diferença de 25 e 16 é 9. A diferença entre 16 e 9 é 7. Ou seja, n + 1² - n² é igual a quanto? O que eu vou tentar fazer é reescrever isso aqui de modo a escrever uma identidade polinomial para esse padrão. Ou seja, algo que descreva o padrão. Aqui temos um produto notável e se expandirmos e ajeitarmos, vamos ficar com n² + 2n + 1 e subtraímos isso por n². E aí podemos cancelar este n² com este -n². E aí a diferença que estamos querendo saber, ou seja, de (n + 1)² com n², é igual a "2n + 1". O que eu quero dizer é que para qualquer "n" positivo, isso aqui vai ser um número inteiro ímpar. Isso porque qualquer número multiplicado por 2 sempre vai dar uma resposta par. E se somarmos com 1, vamos obter um número ímpar. Então, basicamente esta identidade polinomial descreve os números ímpares. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!