por que a vida não é um morango?

Talvez seja porque não e doce ^^

se fantasmas n existem o q é isso atras de vc

não é fantasma atras de mim é o negão mesmo

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Álgebra intermediária (parte 2)

Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 5

Lição 3: Comportamento final de polinômios

Comportamento final de polinômios

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Aprenda o que é comportamento final de um polinômio e saiba como podemos encontrá-lo a partir da equação do polinômio.

Nesta lição, você aprenderá o que é o "comportamento final" de um polinômio e como analisá-lo a partir de um gráfico ou de uma equação polinomial.

O que é "comportamento final"?

O comportamento final de uma função

f

descreve o comportamento do gráfico da função nas "extremidades" do eixo

x

Em outras palavras, o comportamento final de uma função descreve a tendência do gráfico se olharmos para a extremidade direita do eixo

x

(conforme

x

se aproxima do

+ \infty

) e para a extremidade esquerda do eixo

x

(conforme

x

se aproxima do

- \infty

Por exemplo, considere esse gráfico da função polinomial

f

. Observe que, conforme você avança para a direita no eixo

x

, o gráfico de

f

avança para cima. Isso significa que, conforme

x

vai ficando maior,

f (x)

também vai ficando maior.

Matematicamente, escrevemos: conforme

x \to + \infty

f (x) \to + \infty

(leia-se, "conforme

x

se aproxima do infinito positivo,

f (x)

se aproxima do infinito positivo").

Na outra extremidade do gráfico, à medida que avançamos para a esquerda ao longo do eixo

x

(imagine

x

se aproximando do

- \infty

), o gráfico de

f

avança para baixo. Isto significa que, conforme

x

vai se tornando cada vez mais negativo,

f (x)

também vai ficando cada vez mais negativo.

Matematicamente, escrevemos: conforme

x \to - \infty

f (x) \to - \infty

(leia-se, "conforme

x

se aproxima do infinito negativo,

f (x)

se aproxima do infinito negativo").

Teste seus conhecimentos

1) Este é o gráfico de

y = g (x)

Qual é o comportamento final de $g$ ‍?

(Escolha A)
Conforme $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍ e, conforme $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha B)
Conforme $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍ e, conforme $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Escolha C)
Conforme $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍ e, conforme $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha D)
Conforme $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍ e, conforme $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

Como determinar algebricamente o comportamento final

Também podemos determinar o comportamento final de uma função polinomial a partir de sua equação. Frequentemente, isso ajuda na hora de tentar fazer o gráfico da função, uma vez que saber o comportamento final ajuda a visualizar o gráfico nas "extremidades".

Para determinar o comportamento final de um polinômio

f

a partir de sua equação, podemos pensar sobre os valores da função para altos valores positivos e negativos de

x

Especificamente, respondemos às duas perguntas a seguir:

Conforme $x \to + \infty$ ‍, $f (x)$ ‍ se aproxima do que?
Conforme $x \to - \infty$ ‍, $f (x)$ ‍ se aproxima do que?

Investigação: comportamento final de monômios

Funções monomiais são polinômios da forma

y = a x^{n}

, em que

a

é um número real e

n

é um número inteiro não negativo.

Vamos examinar algebricamente o comportamento final de vários monômios e ver se podemos tirar algumas conclusões.

2) Considere o monômio

f (x) = x^{2}

Para valores positivos muito altos de $x$ ‍, o que descreve melhor $f (x)$ ‍?

Para valores negativos muito altos de $x$ ‍, o que descreve melhor $f (x)$ ‍?

[Preciso de ajuda!]

3) Considere o monômio

g (x) = - 3 x^{2}

Para valores positivos muito altos de $x$ ‍, o que descreve melhor $g (x)$ ‍?

Para valores negativos muito altos de $x$ ‍, o que descreve melhor $g (x)$ ‍?

[Preciso de ajuda!]

4) Considere o monômio

h (x) = x^{3}

Para valores positivos muito altos de $x$ ‍, o que descreve melhor $h (x)$ ‍?

Para valores negativos muito altos de $x$ ‍, o que descreve melhor $h (x)$ ‍?

[Preciso de ajuda!]

5) Considere o monômio

j (x) = - 2 x^{3}

Para valores positivos muito altos de $x$ ‍, o que descreve melhor $j (x)$ ‍?

Para valores negativos muito altos de $x$ ‍, o que descreve melhor $j (x)$ ‍?

[Preciso de ajuda!]

Conclusão da investigação

Observe como o grau do monômio

(n)

e o coeficiente principal

(a)

afetam o comportamento final.

Quando

n

é par, o comportamento da função nas duas "extremidades" é igual. O sinal do coeficiente principal determina se ambas se aproximam do

+ \infty

ou se ambas se aproximam do

- \infty

Quando

n

é ímpar, o comportamento da função nas duas "extremidades" é o oposto. O sinal do coeficiente principal determina qual é

+ \infty

e qual é

- \infty

Isso está resumido na tabela abaixo.

**Comportamento final de monômios: $f (x) = a x^{n}$ ‍**
$n$ ‍ é par e $a > 0$ ‍	$n$ ‍ é par e $a < 0$ ‍
Conforme $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍, e conforme $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍. Uma parábola está representada graficamente em um plano cartesiano xy. O gráfico faz uma curva para baixo, indo da esquerda para a direita, e toca a origem antes de se curvar para cima. A parte de cima de ambos os lados da parábola é contínua. A parte do meio da parábola é tracejada.	Conforme $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍, e conforme $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty .$ ‍ Uma parábola está representada graficamente em um plano cartesiano xy. O gráfico faz uma curva para cima, indo da esquerda para a direita, e toca a origem antes de se curvar para baixo. A parte de baixo de ambos os lados da parábola é contínua. A parte do meio da parábola é tracejada.

$n$ ‍ é ímpar e $a > 0$ ‍	$n$ ‍ é ímpar e $a < 0$ ‍
Conforme $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍, e conforme $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍. Uma função cúbica está representada graficamente em um plano cartesiano xy. O gráfico faz uma curva para cima, indo da esquerda para a direita, e passa pela origem antes de se curvar para cima novamente. A parte de baixo e a parte de cima do gráfico são contínuas, já a parte do meio é tracejada.	Conforme $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍, e conforme $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty .$ ‍ Uma função cúbica está representada graficamente em um plano cartesiano xy. O gráfico faz uma curva para baixo, indo da esquerda para a direita, e passa pela origem antes de se curvar para baixo novamente. A parte de cima e a parte de baixo do gráfico são contínuas, já a parte do meio é tracejada.

n

é ímpar e

a > 0

n

é ímpar e

a < 0

Conforme

x \to - \infty

f (x) \to - \infty

, e conforme

x \to + \infty

f (x) \to + \infty

Conforme

x \to - \infty

f (x) \to + \infty

, e conforme

x \to + \infty

f (x) \to - \infty .

Teste seus conhecimentos

6) Qual é o comportamento final de $g (x) = 8 x^{3}$ ‍?

(Escolha A)
Conforme $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍ e, conforme $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha B)
Conforme $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍ e, conforme $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Escolha C)
Conforme $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍ e, conforme $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha D)
Conforme $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍ e, conforme $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

Comportamento final de polinômios

Agora sabemos como encontrar o comportamento final de monômios. Mas e quanto aos polinômios que não são monômios? E quanto a funções como

g (x) = - 3 x^{2} + 7 x

Em geral, o comportamento final de uma função polinomial é igual ao comportamento final de seu termo principal, ou do termo com o maior expoente.

Sendo assim, o comportamento final de

g (x) = - 3 x^{2} + 7 x

é igual ao comportamento final do monômio

- 3 x^{2}

Como o grau de

- 3 x^{2}

é par

(2)

e o coeficiente principal é negativo

(- 3)

, o comportamento final de

g

é: conforme

x \to - \infty

g (x) \to - \infty

e, conforme

x \to + \infty

g (x) \to - \infty

Teste seus conhecimentos

7) Qual é o comportamento final de $f (x) = 8 x^{5} - 7 x^{2} + 10 x - 1$ ‍?

(Escolha A)
Conforme $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍ e, conforme $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha B)
Conforme $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍ e, conforme $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍.
(Escolha C)
Conforme $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍ e, conforme $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha D)
Conforme $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍ e, conforme $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

8) Qual é o comportamento final de $g (x) = - 6 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2}$ ‍?

(Escolha A)
Conforme $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍ e, conforme $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha B)
Conforme $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍ e, conforme $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Escolha C)
Conforme $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍ e, conforme $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha D)
Conforme $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍ e, conforme $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

Por que o termo principal determina o comportamento final?

Isso acontece porque o termo principal tem o maior efeito sobre os valores da função para valores altos de

x

Vamos explorar isso mais profundamente, analisando a função

g (x) = - 3 x^{2} + 7 x

para valores positivos altos de

x

Conforme

x

se aproxima do

+ \infty

, sabemos que

- 3 x^{2}

se aproxima do

- \infty

e que

7 x

se aproxima do

+ \infty

Mas qual é o comportamento final de sua soma? Vamos inserir alguns valores de

x

para descobrir isso.

$x$ ‍	$- 3 x^{2}$ ‍	$7 x$ ‍	$- 3 x^{2} + 7 x$ ‍
$1$ ‍	$- 3$ ‍	$7$ ‍	$4$ ‍
$10$ ‍	$- 300$ ‍	$70$ ‍	$- 230$ ‍
$100$ ‍	$- 30.000$ ‍	$700$ ‍	$- 29.300$ ‍
$1.000$ ‍	$- 3.000.000$ ‍	$7.000$ ‍	$- 2.993.000$ ‍

Observe que, a medida que

x

fica maior, o polinômio se comporta como

- 3 x^{2} .

Mas suponhamos que o termo

x

tivesse um pouco mais de peso. O que aconteceria se, ao invés de

7 x

, tivéssemos

999 x

$x$ ‍	$- 3 x^{2}$ ‍	$999 x$ ‍	$- 3 x^{2} + 999 x$ ‍
$10$ ‍	$- 300$ ‍	$9.990$ ‍	$9.690$ ‍
$100$ ‍	$- 30.000$ ‍	$99.900$ ‍	$69.900$ ‍
$1000$ ‍	$- 3.000.000$ ‍	$999.000$ ‍	$- 2.001.000$ ‍
$10.000$ ‍	$- 300.000.000$ ‍	$9.990.000$ ‍	$- 290.010.000$ ‍

Novamente, vemos que, para valores altos de

x

, o polinômio se comporta como

- 3 x^{2}

. Embora um valor de

x

maior fosse necessário para ver a tendência aqui, este ainda é o caso.

Na verdade, não importa qual seja o coeficiente de

x

, para valores suficientemente altos de

x

- 3 x^{2}

vai, por fim, assumir o controle!

Desafios

9*) Quais dos seguintes gráficos podem ser o gráfico de $h (x) = - 8 x^{3} + 7 x - 1$ ‍?

[Preciso de ajuda!]

10*) Qual é o comportamento final de $g (x) = (2 - 3 x) (x + 2)^{2}$ ‍?

(Escolha A)
Conforme $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍ e, conforme $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha B)
Conforme $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍ e, conforme $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Escolha C)
Conforme $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍ e, conforme $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha D)
Conforme $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍ e, conforme $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

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Icaro Maschio
Publicado há há 3 meses. Link direto para a postagem “porque o khan academy, te...” de Icaro Maschio
porque o khan academy, tem q existir??
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JHONNY OSLEC DO PRADO TEIXEIRA
Publicado há há 3 meses. Link direto para a postagem “porque isso é tão difícil...” de JHONNY OSLEC DO PRADO TEIXEIRA
porque isso é tão difícil?
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06 brayan
Publicado há há 2 meses. Link direto para a postagem “por que eu n entendo isso” de 06 brayan
por que eu n entendo isso
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00001106097488sp
Publicado há há 2 meses. Link direto para a postagem “Eu posso desistir de faze...” de 00001106097488sp
Eu posso desistir de fazer o Khan academy?
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- Juju
  Publicado há há 13 dias. Link direto para a postagem “c vc desisti eu desisto t...” de Juju
  c vc desisti eu desisto tbm
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Kadu Leandro
Publicado há há 3 meses. Link direto para a postagem “Porque o cavalo tem 4 per...” de Kadu Leandro
Porque o cavalo tem 4 pernas?
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Carolline Alves Da Silva 1B
Publicado há há 2 meses. Link direto para a postagem “por que a vida não é um m...” de Carolline Alves Da Silva 1B
por que a vida não é um morango?
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- Kamili vitoria da silva
  Publicado há há 2 meses. Link direto para a postagem “Talvez seja porque não e ...” de Kamili vitoria da silva
  Talvez seja porque não e doce ^^
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Miguel Pereira Fachin
Publicado há há 3 meses. Link direto para a postagem “se fantasmas n existem ...” de Miguel Pereira Fachin
se fantasmas n existem o q é isso atras de vc
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- Everson
  Publicado há há 2 meses. Link direto para a postagem “não é fantasma atras de m...” de Everson
  não é fantasma atras de mim é o negão mesmo
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Medinavr_joao
Publicado há há 2 meses. Link direto para a postagem “Baby Baby, do biru-biru l...” de Medinavr_joao
Baby Baby, do biru-biru laibe?
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José Manoel
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