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Álgebra intermediária (parte 2)
Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 5
Lição 3: Comportamento final de polinômiosComportamento final de polinômios
Aprenda o que é comportamento final de um polinômio e saiba como podemos encontrá-lo a partir da equação do polinômio.
Nesta lição, você aprenderá o que é o "comportamento final" de um polinômio e como analisá-lo a partir de um gráfico ou de uma equação polinomial.
O que é "comportamento final"?
O comportamento final de uma função descreve o comportamento do gráfico da função nas "extremidades" do eixo .
Em outras palavras, o comportamento final de uma função descreve a tendência do gráfico se olharmos para a extremidade direita do eixo (conforme se aproxima do ) e para a extremidade esquerda do eixo (conforme se aproxima do ).
Por exemplo, considere esse gráfico da função polinomial . Observe que, conforme você avança para a direita no eixo , o gráfico de avança para cima. Isso significa que, conforme vai ficando maior, também vai ficando maior.
Matematicamente, escrevemos: conforme , (leia-se, "conforme se aproxima do infinito positivo, se aproxima do infinito positivo").
Na outra extremidade do gráfico, à medida que avançamos para a esquerda ao longo do eixo (imagine se aproximando do ), o gráfico de avança para baixo. Isto significa que, conforme vai se tornando cada vez mais negativo, também vai ficando cada vez mais negativo.
Matematicamente, escrevemos: conforme , (leia-se, "conforme se aproxima do infinito negativo, se aproxima do infinito negativo").
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Como determinar algebricamente o comportamento final
Também podemos determinar o comportamento final de uma função polinomial a partir de sua equação. Frequentemente, isso ajuda na hora de tentar fazer o gráfico da função, uma vez que saber o comportamento final ajuda a visualizar o gráfico
nas "extremidades".
Para determinar o comportamento final de um polinômio a partir de sua equação, podemos pensar sobre os valores da função para altos valores positivos e negativos de .
Especificamente, respondemos às duas perguntas a seguir:
- Conforme
, se aproxima do que? - Conforme
, se aproxima do que?
Investigação: comportamento final de monômios
Funções monomiais são polinômios da forma , em que é um número real e é um número inteiro não negativo.
Vamos examinar algebricamente o comportamento final de vários monômios e ver se podemos tirar algumas conclusões.
2) Considere o monômio .
3) Considere o monômio .
4) Considere o monômio .
5) Considere o monômio .
Conclusão da investigação
Observe como o grau do monômio e o coeficiente principal afetam o comportamento final.
Quando é par, o comportamento da função nas duas "extremidades" é igual. O sinal do coeficiente principal determina se ambas se aproximam do ou se ambas se aproximam do .
Quando é ímpar, o comportamento da função nas duas "extremidades" é o oposto. O sinal do coeficiente principal determina qual é e qual é .
Isso está resumido na tabela abaixo.
Conforme | Conforme |
Conforme | Conforme |
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Comportamento final de polinômios
Agora sabemos como encontrar o comportamento final de monômios. Mas e quanto aos polinômios que não são monômios? E quanto a funções como ?
Em geral, o comportamento final de uma função polinomial é igual ao comportamento final de seu termo principal, ou do termo com o maior expoente.
Sendo assim, o comportamento final de é igual ao comportamento final do monômio .
Como o grau de é par e o coeficiente principal é negativo , o comportamento final de é: conforme , e, conforme , .
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Por que o termo principal determina o comportamento final?
Isso acontece porque o termo principal tem o maior efeito sobre os valores da função para valores altos de .
Vamos explorar isso mais profundamente, analisando a função para valores positivos altos de .
Conforme se aproxima do , sabemos que se aproxima do e que se aproxima do .
Mas qual é o comportamento final de sua soma? Vamos inserir alguns valores de para descobrir isso.
Observe que, a medida que fica maior, o polinômio se comporta como
Mas suponhamos que o termo tivesse um pouco mais de peso. O que aconteceria se, ao invés de , tivéssemos ?
Novamente, vemos que, para valores altos de , o polinômio se comporta como . Embora um valor de maior fosse necessário para ver a tendência aqui, este ainda é o caso.
Na verdade, não importa qual seja o coeficiente de , para valores suficientemente altos de , vai, por fim, assumir o controle!
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