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Álgebra intermediária (parte 2)

Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 5

Lição 2: Intervalos positivos e negativos de polinômios

Intervalos positivos e negativos de polinômios

Aprenda sobre a relação entre os zeros de polinômios e os intervalos nos quais eles são positivos ou negativos.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

As raízes de um polinômio f correspondem às interceptações em x do gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.

Por exemplo, vamos supor que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared. Como as raízes da função f são minus, 3 e 1, o gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis terá interceptações em x em left parenthesis, minus, 3, comma, 0, right parenthesis e left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis.

Se isso é novidade para você, recomendamos que você confira nosso artigo sobre raízes de polinômios.

O que você vai aprender nessa lição

Embora as interceptações em x sejam uma característica importante do gráfico de uma função, precisamos de mais informações para fazer um bom esboço.

Saber o sinal de uma função polinomial entre duas raízes pode nos ajudar a preencher algumas lacunas.

Nesse artigo, vamos aprender a determinar os intervalos em que um polinômio é positivo ou negativo e conectar esta informação ao gráfico.

Intervalos positivos e negativos

O sinal de um polinômio entre qualquer uma de duas raízes consecutivas é ou sempre positivo ou sempre negativo.

[Por quê?]

Por exemplo, considere o gráfico da função f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis.

A partir do gráfico, vemos que f, left parenthesis, x, right parenthesis sempre é ...

...negativa quando minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 1.
...positiva quando minus, 1, is less than, x, is less than, 1.
...negativa quando 1, is less than, x, is less than, 3.
...positiva quando 3, is less than, x, is less than, infinity.

Contudo, uma função polinomial não precisa necessariamente mudar de sinais entre raízes.

Por exemplo, considere o gráfico da função g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared.

A partir do gráfico, vemos que g, left parenthesis, x, right parenthesis sempre é...

...negativa quando minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 2.
...negativa quando minus, 2, is less than, x, is less than, 0.
...positiva quando 0, is less than, x, is less than, infinity.

Observe que g, left parenthesis, x, right parenthesis não muda de sinal em torno de x, equals, minus, 2.

Determinação dos intervalos positivos e negativos de polinômios

Vamos encontrar os intervalos nos quais o polinômio f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared é positivo e os intervalos nos quais ele é negativo.

As raízes de f são minus, 3 e 1. Isso cria três intervalos nos quais o sinal de f é constante:

Vamos descobrir o sinal de f para minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3.

Sabemos que f será sempre positiva ou sempre negativa nesse intervalo. Podemos determinar qual é o caso calculando f para um valor nesse intervalo. Como minus, 4 está nesse intervalo, vamos calcular f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis.

Como só estamos interessados aqui no sinal do polinômio, não precisamos calculá-lo completamente:

\begin{aligned} f(x) &= (x+3)(x-1)^2 \\\\ f(-4) &= ({-4+3})({-4-1})^2 \\\\ &= ( -)(-)^2 &&{\gray{\text{Calcule somente o sinal da resposta.}}} \\\\ &=(-)(+)&&{\gray{\text{Um número negativo ao quadrado é positivo.}}} \\\\ &=-&&{\gray{\text{Um número negativo vezes um número positivo é negativo.}}} \end{aligned}

Vemos aqui que f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis é negativa, portanto f, left parenthesis, x, right parenthesis será sempre negativa para minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3.

Podemos repetir o processo para os intervalos restantes.

[Gostaria de ver isso!]

Os resultados estão resumidos na tabela abaixo.

Intervalo	O valor de uma f, left parenthesis, x, right parenthesis específica dentro do intervalo	Sinal de f no intervalo	Conexão com o gráfico de f
minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3	f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, is less than, 0	negativo	Abaixo do eixo x
minus, 3, is less than, x, is less than, 1	f, left parenthesis, 0, right parenthesis, is greater than, 0	positivo	Acima do eixo x
1, is less than, x, is less than, infinity	f, left parenthesis, 2, right parenthesis, is greater than, 0	positivo	Acima do eixo x

Isso é coerente com o gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.

Teste seu conhecimento

1) g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, plus, 6, right parenthesis tem raízes em x, equals, minus, 6 e x, equals, minus, 1.

Qual é o sinal de g no intervalo minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1?

(Escolha A)
g, left parenthesis, x, right parenthesis é sempre positiva no intervalo minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1.
(Escolha B)
g, left parenthesis, x, right parenthesis é sempre negativa no intervalo minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1.
(Escolha C)
g, left parenthesis, x, right parenthesis é tanto positiva quanto negativa no intervalo minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1.

2) h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis tem raízes em x, equals, minus, 5, x, equals, 2 e x, equals, 3.

Qual é o sinal de h, left parenthesis, x, right parenthesis no intervalo minus, 5, is less than, x, is less than, 2?

(Escolha A)
h, left parenthesis, x, right parenthesis é sempre positiva no intervalo minus, 5, is less than, x, is less than, 2.
(Escolha B)
h, left parenthesis, x, right parenthesis é sempre negativa no intervalo minus, 5, is less than, x, is less than, 2.
(Escolha C)
h, left parenthesis, x, right parenthesis é tanto positiva quanto negativa no intervalo minus, 5, is less than, x, is less than, 2.

Desafio

3*) Quais dos seguintes gráficos podem ser o gráfico de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, cubed?

Determinação de intervalos positivos e negativos a partir de um esboço do gráfico

Outra maneira de determinar os intervalos nos quais um polinômio é positivo ou negativo é desenhando um esboço de seu gráfico, com base no comportamento final do polinômio e nas multiplicidades de suas raízes.

Veja nossos artigo sobre gráficos de polinômios para ver outros detalhes.

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