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Álgebra intermediária (parte 2)
Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 5
Lição 2: Intervalos positivos e negativos de polinômiosIntervalos positivos e negativos de polinômios
Aprenda sobre a relação entre os zeros de polinômios e os intervalos nos quais eles são positivos ou negativos.
Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição
As raízes de um polinômio correspondem às interceptações em do gráfico de .
Por exemplo, vamos supor que . Como as raízes da função são e , o gráfico de terá interceptações em em e .
Se isso é novidade para você, recomendamos que você confira nosso artigo sobre raízes de polinômios.
O que você vai aprender nessa lição
Embora as interceptações em sejam uma característica importante do gráfico de uma função, precisamos de mais informações para fazer um bom esboço.
Saber o sinal de uma função polinomial entre duas raízes pode nos ajudar a preencher algumas lacunas.
Nesse artigo, vamos aprender a determinar os intervalos em que um polinômio é positivo ou negativo e conectar esta informação ao gráfico.
Intervalos positivos e negativos
O sinal de um polinômio entre qualquer uma de duas raízes consecutivas é ou sempre positivo ou sempre negativo.
Por exemplo, considere o gráfico da função .
A partir do gráfico, vemos que sempre é ...
- ...negativa quando
. - ...positiva quando
. - ...negativa quando
. - ...positiva quando
.
Contudo, uma função polinomial não precisa necessariamente mudar de sinais entre raízes.
Por exemplo, considere o gráfico da função .
A partir do gráfico, vemos que sempre é...
- ...negativa quando
. - ...negativa quando
. - ...positiva quando
.
Observe que não muda de sinal em torno de .
Determinação dos intervalos positivos e negativos de polinômios
Vamos encontrar os intervalos nos quais o polinômio é positivo e os intervalos nos quais ele é negativo.
As raízes de são e . Isso cria três intervalos nos quais o sinal de é constante:
Vamos descobrir o sinal de para .
Sabemos que será sempre positiva ou sempre negativa nesse intervalo. Podemos determinar qual é o caso calculando para um valor nesse intervalo. Como está nesse intervalo, vamos calcular .
Como só estamos interessados aqui no sinal do polinômio, não precisamos calculá-lo completamente:
Vemos aqui que é negativa, portanto será sempre negativa para .
Podemos repetir o processo para os intervalos restantes.
Os resultados estão resumidos na tabela abaixo.
Intervalo | O valor de uma | Sinal de | Conexão com o gráfico de |
---|---|---|---|
negativo | Abaixo do eixo | ||
positivo | Acima do eixo | ||
positivo | Acima do eixo |
Isso é coerente com o gráfico de .
Teste seu conhecimento
Desafio
Determinação de intervalos positivos e negativos a partir de um esboço do gráfico
Outra maneira de determinar os intervalos nos quais um polinômio é positivo ou negativo é desenhando um esboço de seu gráfico, com base no comportamento final do polinômio e nas multiplicidades de suas raízes.
Veja nossos artigo sobre gráficos de polinômios para ver outros detalhes.
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