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Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 5

Lição 2: Intervalos positivos e negativos de polinômios

Intervalos positivos e negativos de polinômios

Google Sala de Aula

Aprenda sobre a relação entre os zeros de polinômios e os intervalos nos quais eles são positivos ou negativos.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

As raízes de um polinômio

f

correspondem às interceptações em

x

do gráfico de

y = f (x)

Por exemplo, vamos supor que

f (x) = (x + 3) (x - 1)^{2}

. Como as raízes da função

f

são

- 3

1

, o gráfico de

y = f (x)

terá interceptações em

x

(- 3, 0)

(1, 0)

Se isso é novidade para você, recomendamos que você confira nosso artigo sobre raízes de polinômios.

O que você vai aprender nessa lição

Embora as interceptações em

x

sejam uma característica importante do gráfico de uma função, precisamos de mais informações para fazer um bom esboço.

Saber o sinal de uma função polinomial entre duas raízes pode nos ajudar a preencher algumas lacunas.

Nesse artigo, vamos aprender a determinar os intervalos em que um polinômio é positivo ou negativo e conectar esta informação ao gráfico.

Intervalos positivos e negativos

O sinal de um polinômio entre qualquer uma de duas raízes consecutivas é ou sempre positivo ou sempre negativo.

Por exemplo, considere o gráfico da função

f (x) = (x + 1) (x - 1) (x - 3)

A partir do gráfico, vemos que

f (x)

sempre é ...

...negativa quando $- \infty < x < - 1$ ‍.
...positiva quando $- 1 < x < 1$ ‍.
...negativa quando $1 < x < 3$ ‍.
...positiva quando $3 < x < \infty$ ‍.

Contudo, uma função polinomial não precisa necessariamente mudar de sinais entre raízes.

Por exemplo, considere o gráfico da função

g (x) = x (x + 2)^{2}

A partir do gráfico, vemos que

g (x)

sempre é...

...negativa quando $- \infty < x < - 2$ ‍.
...negativa quando $- 2 < x < 0$ ‍.
...positiva quando $0 < x < \infty$ ‍.

Observe que

g (x)

não muda de sinal em torno de

x = - 2

Determinação dos intervalos positivos e negativos de polinômios

Vamos encontrar os intervalos nos quais o polinômio

f (x) = (x + 3) (x - 1)^{2}

é positivo e os intervalos nos quais ele é negativo.

As raízes de

f

são

- 3

1

. Isso cria três intervalos nos quais o sinal de

f

é constante:

Vamos descobrir o sinal de

f

para

- \infty < x < - 3

Sabemos que

f

será sempre positiva ou sempre negativa nesse intervalo. Podemos determinar qual é o caso calculando

f

para um valor nesse intervalo. Como

- 4

está nesse intervalo, vamos calcular

f (- 4)

Como só estamos interessados aqui no sinal do polinômio, não precisamos calculá-lo completamente:

\begin{aligned} f (x) & = (x + 3) (x - 1)^{2} \\ f (- 4) & = (- 4 + 3) (- 4 - 1)^{2} \\ = (-) (-)^{2} & Calcule somente o sinal da resposta. \\ = (-) (+) & Um número negativo ao quadrado é positivo. \\ = - & Um número negativo vezes um número positivo é negativo. \end{aligned}

Vemos aqui que

f (- 4)

é negativa, portanto

f (x)

será sempre negativa para

- \infty < x < - 3

Podemos repetir o processo para os intervalos restantes.

Intervalo: $- 3 < x < 1$ ‍

Como

0

está nesse intervalo, vamos descobrir o sinal de

f (0)

$\begin{aligned} f (x) & = (x + 3) (x - 1)^{2} \\ f (0) & = (0 + 3) (0 - 1)^{2} \\ = (+) (-)^{2} & Calcule somente o sinal da resposta. \\ = (+) (+) & Um negativo elevado ao quadrado é um positivo. \\ = + & Um positivo vezes um positivo é um positivo. \end{aligned}$ ‍

Como

f (0)

é positiva,

f (x)

será positiva para

- 3 < x < 1

Intervalo: $1 < x < \infty$ ‍

Como

2

está nesse intervalo, vamos descobrir o sinal de

f (2)

$\begin{aligned} f (x) & = (x + 3) (x - 1)^{2} \\ f (2) & = (2 + 3) (2 - 1)^{2} \\ = (+) (+)^{2} & Calcule somente o sinal da resposta. \\ = (+) (+) & Um positivo elevado ao quadrado é um positivo \\ = + & Um positivo vezes um positivo é um positivo. \end{aligned}$ ‍

Como

f (2)

é positiva,

f (x)

será positiva para

1 < x < \infty

Os resultados estão resumidos na tabela abaixo.

Intervalo	O valor de uma $f (x)$ ‍ específica dentro do intervalo	Sinal de $f$ ‍ no intervalo	Conexão com o gráfico de $f$ ‍
$- \infty < x < - 3$ ‍	$f (- 4) < 0$ ‍	negativo	Abaixo do eixo $x$ ‍
$- 3 < x < 1$ ‍	$f (0) > 0$ ‍	positivo	Acima do eixo $x$ ‍
$1 < x < \infty$ ‍	$f (2) > 0$ ‍	positivo	Acima do eixo $x$ ‍

Isso é coerente com o gráfico de

y = f (x)

Teste seu conhecimento

g (x) = (x + 1)^{2} (x + 6)

tem raízes em

x = - 6

x = - 1

Qual é o sinal de $g$ ‍ no intervalo $- 6 < x < - 1$ ‍?

h (x) = (3 - x) (x + 5) (x - 2)

tem raízes em

x = - 5

x = 2

x = 3

Qual é o sinal de $h (x)$ ‍ no intervalo $- 5 < x < 2$ ‍?

Desafio

3*) Quais dos seguintes gráficos podem ser o gráfico de $g (x) = (x - 2)^{2} (x + 1)^{3}$ ‍?

Determinação de intervalos positivos e negativos a partir de um esboço do gráfico

Outra maneira de determinar os intervalos nos quais um polinômio é positivo ou negativo é desenhando um esboço de seu gráfico, com base no comportamento final do polinômio e nas multiplicidades de suas raízes.

Veja nossos artigo sobre gráficos de polinômios para ver outros detalhes.

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