If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Álgebra intermediária (parte 2)

Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 5

Lição 2: Intervalos positivos e negativos de polinômios
Matemática
Álgebra intermediária (parte 2)
Gráficos de polinômios
Intervalos positivos e negativos de polinômios
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies

Zeros de polinômios e seus gráficos

Google Sala de Aula
Aprenda sobre a relação entre zeros, raízes e interceptações em x de polinômios. Aprenda sobe as multiplicidades de zeros.

O que você vai aprender nessa lição

Ao estudar polinômios, frequentemente você ouve os termos zeros, raízes, fatores e interceptações em x.
Nesse artigo, vamos explorar essas características dos polinômios e a relação especial que elas têm umas com as outras.

Conexões fundamentais para funções polinomiais

Para um polinômio f e um número real k, as afirmativas a seguir são equivalentes:
  • x, equals, start color #01a995, k, end color #01a995 é uma raiz, ou solução, da equação f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0
  • start color #01a995, k, end color #01a995 é um zero da função f
  • left parenthesis, start color #01a995, k, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis é uma interceptação em x do gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis
  • x, minus, start color #01a995, k, end color #01a995 é um fator linear de f, left parenthesis, x, right parenthesis
Vamos entender isso com o polinômio g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, que pode ser escrito assim: g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis.
Primeiramente, vemos que os fatores lineares de g, left parenthesis, x, right parenthesis são left parenthesis, x, minus, start color #01a995, 3, end color #01a995, right parenthesis e left parenthesis, x, minus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, right parenthesis, right parenthesis.
Se definirmos g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 e calcularmos o valor de x, obteremos x, equals, start color #01a995, 3, end color #01a995 ou x, equals, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995. Essas são as soluções, ou raízes, da equação.
Um zero de uma função é um valor de x que faz com que a função valha 0. Como sabemos que x, equals, 3 e x, equals, minus, 2 são soluções para g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, então start color #01a995, 3, end color #01a995 e start color #01a995, minus, 2, end color #01a995 são os zeros da função g.
Por fim, as interceptações em x do gráfico de y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis satisfazem a equação 0, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, que foi resolvida acima. As interceptações em x da equação são left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis e left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis.

Teste seu conhecimento

1) Quais são os zeros de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 7, right parenthesis?
Escolha 1 resposta:

2) O gráfico da função g cruza o eixo x em left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis. Qual deve ser uma raiz da equação g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0?
x, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) Os zeros da função h são minus, 1 e 3. Quais das seguintes opções podem ser h, left parenthesis, x, right parenthesis?
Escolha 1 resposta:

Raízes e multiplicidade

Quando um fator linear ocorre várias vezes na fatoração de um polinômio, isso fornece a multiplicidade relacionada à raiz.
Por exemplo, no polinômio f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, start superscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end superscript, o número 4 é uma raiz de multiplicidade start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff.
Observe que, quando expandimos f, left parenthesis, x, right parenthesis, o fator left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis é escrito start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff vezes.
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, start color #aa87ff, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, end color #aa87ff
Então, em certo sentido, quando você resolver f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, você obterá x, equals, 4 duas vezes.
0=(x−1)(x−4)(x−4)x−1=0x−4=0x−4=0x=1x=4x=4\begin{aligned}0&=(x-1)\purpleC{(x-4)(x-4)}\\ \\ &x-1=0\qquad x-4=0\qquad x-4=0\\\\ &x=1\qquad \qquad \purpleC{x=4}\qquad \qquad \purpleC{x=4} \end{aligned}
Em geral, se x, minus, k ocorre m vezes na fatoração de um polinômio, então k é uma raiz de multiplicidade m. Uma raiz de multiplicidade 2 é chamada de raiz dupla.

Teste seu conhecimento

4) Qual raiz de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, cubed tem multiplicidade 3?
Escolha 1 resposta:

5) Qual raiz de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, cubed, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, squared é uma raiz dupla?
Escolha 1 resposta:

A conexão gráfica

A multiplicidade de uma raiz é importante porque ela nos diz como o gráfico do polinômio vai se comportar próximo da raiz.
Por exemplo, observe que o gráfico de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, squared se comporta de maneira diferente próximo da raiz 1 e próximo da raiz 4, que é uma raiz dupla.
Especificamente, enquanto o gráfico cruza o eixo x em x, equals, 1, ele apenas toca o eixo x em x, equals, 4.
Vamos olhar para o gráfico de uma função que tem as mesmas raízes, mas multiplicidades diferentes. Por exemplo, considere g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis. Observe que, para essa função, 1 é agora uma raiz dupla, enquanto 4 é uma raiz única.
Agora, vemos que o gráfico de g toca o eixo x em x, equals, 1 e cruza o eixo x em x, equals, 4.
Em geral, se uma função f tiver uma raiz de multiplicidade ímpar, o gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis vai cruzar o eixo x naquele valor de x. Se uma função f tiver uma raiz de multiplicidade par, o gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis vai tocar o eixo x naquele ponto.

Teste seu conhecimento

6) No gráfico da função, a multiplicidade da raiz 6 é par ou ímpar?
Escolha 1 resposta:

7) Qual é o gráfico de h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis?
Escolha 1 resposta:

Desafio

8*) Qual é o gráfico de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, x, cubed, plus, 4, x, squared, minus, 4, x?
Escolha 1 resposta:

Quer participar da conversa?

Entrar
Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.