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Relação gráfica entre 2ˣ e log₂(x)

Neste vídeo, construímos o gráfico de y=2ˣ e y=log₂(x) no mesmo plano cartesiano, mostrando como eles se comportam como gráficos das funções inversas uma da outra. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - O que eu quero fazer neste vídeo é desenhar uma função exponencial neste gráfico, e também uma função logarítmica que está relacionada à função exponencial, e depois ver como as duas se comportam. E as funções que eu vou desenhar são as seguintes: ''y" igual a 2 elevado a "x'', essa é a nossa função exponencial, e agora, vou colocar aqui a nossa função logarítmica, ''y" igual ao log de "x" na base 2. Então, eu encorajo você à pausar esse vídeo e criar uma tabela para ambas as funções e depois colocar esses pontos no gráfico. Se você conseguir visualizar esse gráfico, responda: por que esse gráfico se relaciona dessa forma? Pense nisso. Então, vamos começar com essa função exponencial aqui. Eu vou escolher alguns valores diferentes para ''x'' e os seus correspondentes em ''y''. Vamos começar com menos -2, -1, 0, 1, 2 e 3, para a gente ver como é que fica. Então, 2 elevado a -2, isso vai dar 1/4. 2 elevado a -1, isso vai dar 1/2. 2 elevado a zero, vai dar 1. 2 elevado a 1 dá 2. 2² dá 4, e 2³ dá 8. Então, agora, vamos marcar esses pontos. Quando ''x = 3'', ''y = 8'', está bem aqui em cima, assim. Quando ''x = 2'', ''y = 4'', o ponto que está aqui, bem aqui. Quando ''x = 1'', ''y = 2'', é o ponto que está aqui, Quando ''x = 0'', o resultado da função dá 1. Depois, quando o ''x = -1'', aqui vai dar a metade desse quadradinho, 1/2. O próximo será 1/4, vai estar mais ou menos aqui, que é metade desse pedaço, o outro vai ser 1/8, vai estar aqui, bem baixinho, bem pequenininho, se eu fizesse ''x = -3''. Então, o nosso gráfico vai começar aqui, bem devagarinho, e aí ele vai começando a ter uma ascensão. Ele começa aqui, bem devagarinho, e ele começa a ter uma ascensão. Uma ascensão bem rápida né? Ele chega aqui e ''bang!'', já sobe absurdamente, aqui ele começa a ter uma ascensão absurda. E isso aqui fica parecendo um taco de hóquei ou algo parecido, né. Então, isso aqui é a nossa função exponencial. E repare aqui no seguinte, conforme esse número vai diminuindo e diminuindo, o valor de ''y'' se aproxima de zero, mas ele nunca chega a tocar essa reta, porque mesmo que coloque aqui ''x'' = -1.000.000'', isso vai dar 1/2 elevado a 1.000.000, que é um número muito, muito, muito pequeno, mas ainda assim não chega a ser zero. Então isso, para a gente, vai ser uma assíntota horizontal, o eixo ''x'' vai ser uma assíntota horizontal. Então, nós temos uma assíntota horizontal quando ''y = 0''. Muito bem, agora vamos desenhar o gráfico da função ''y = log x na base 2''. Antes de eu desenhar gráfico dessa função, vamos pensar nela de outra maneira. Eu quero saber qual é o valor de ''y''. Se eu quero saber qual é o valor de ''y'', então, ''y'' é o número que eu tenho que elevar a 2 para dar ''x''. Posso dizer que isso é o seguinte, eu posso dizer que 2 elevado a ''y'', isso aqui é igual a ''x''. Então, eu pego o número 2, elevo ao um expoente ''y'', e isso dá ''x''. Bom, essas duas funções aqui, elas são bem parecidas, na verdade elas só estão ao contrário, na verdade eu troquei ''x'' por ''y'', ''x'' e ''y'' estão trocados nessas duas funções. Então vamos montar a nossa tabela. Tenho aqui ''x'' e aqui ''y'', então no lugar de ''x'' eu vou ter 1/4, eu vou colocar esses valores aqui para ''x'', 1/4, nós vamos trocar esses valores, trocar os valores de ''x'' com ''y''. 1/2, 1, 2, 4 e 8. O que eu estou querendo dizer com isso? Eu quero o log de 1/4 na base 2. O logaritmo de 1/4 na base 2 pode ser visto da seguinte maneira: que número eu vou elevar a 2 para que esse valor seja 1/4? Bom, esse valor tem que ser -2. 2 elevado a -2 dá 1/4, então o valor de ''y'' será -2. Quando ''x = 1/2, ''y'' vai dar -1, quando ''x = 1'', ''y = 0'', 2 vai dar 1, 4 vai dar 2, 8 vai dar 3. Então, basicamente, o que nós fizemos dessa função para essa, foi trocar o valor de ''x'' com valor de ''y'', pode reparar nisso. Então, agora vamos marcar esses pontos do gráfico, vamos fazer o nosso gráfico. Quando "x = 1/4'', o valor de ''y'' vai dar -2, então vai dar -2. Quando ''x" é igual a 1/2, "y'' vai dar -1, está mais ou menos aqui. Quando ''x = 1'', ''y'' vai dar zero. Quando ''x = 2'', ''y'' vai dar 1. Quando ''x = 4'', ''y'' vai dar 2, e quando ''x = 8'', ''y'' vai dar 3. Então, agora, vamos traçar aqui o nosso gráfico. Nós ficaremos com um desenho mais ou menos assim. Eu acredito que você já esteja vendo um padrão no nosso desenho, pela sua própria construção. E o que parece isso? Isso parece uma reflexão da curva acima, a curva exponencial e a curva logarítmica. São curvas que são feitas por uma reflexão. E onde está essa reflexão? A reflexão se dará sobre essa reta aqui. Vamos construir a reta aqui, que é a reta ''y = x''. Então essa reta aqui, é o que vai dar a nossa reflexão. E repare, por que isso está acontecendo, né? Isso está acontecendo porque, basicamente, os valores aqui estão trocados, ''x'' com ''y''. Mas, essencialmente, porque essa função e essa são funções inversas uma da outra, ou seja, ''y = x'', o valor de ''x'' de uma é o ''y'' de outra, e vice-versa, então, basta que nós troquemos seus valores. E essas duas funções se relacionam por causa desta reta, por causa da reflexão em torno desta reta. Repare que na função exponencial, conforme ''x'' vai diminuindo e diminuindo, o que vai acontecendo com o ''y''? O ''y'' vai tendendo a zero. Já aqui, na função logarítmica, é o contrário, conforme ''y'' vai tendendo a menos infinito, ou seja, vai ficando cada vez menor, menor e menor, o ''x'' vai tendendo a zero, ou melhor, conforme ''x'' tende a zero, o ''y'' tende a menos infinito. Eu espero que vocês tenham admirado essa relação de uma ser a inversa da outra, porque isso é muito interessante. E então, pessoal, nos vemos nos próximos vídeos!