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Álgebra intermediária (parte 2)

Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 9

Lição 3: Simetria de funções
Matemática
Álgebra intermediária (parte 2)
Transformações de funções
Simetria de funções
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Simetria de polinômios

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Aprenda a determinar se uma função polinomial é par, ímpar ou nenhuma das opções.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

Uma função é uma função par se seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
Algebricamente, f é uma função par se f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis para todos os valores de x.
Uma função é uma função ímpar se seu gráfico é simétrico em relação à origem.
Algebricamente, f é uma função ímpar se f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis para todos os valores de x.
Se isso é novidade para você, recomendamos que você confira nossa introdução à simetria de funções.

O que você vai aprender nessa lição

Você vai aprender a determinar se um polinômio é par, ímpar ou nenhum dos dois, com base na equação do polinômio.

Investigação: simetria de monômios

Um monômio é um polinômio de um termo. Monômios têm a forma f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, n, end superscript, em que a é um número real e n é um número inteiro maior ou igual a 0.
Nessa investigação, vamos analisar a simetria de vários monômios para ver se podemos propor condições gerais para um monômio ser par ou ímpar.
Em geral, para determinar se uma função f é par, ímpar ou nem par, nem ímpar, analisamos a expressão para f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis:
  • Se f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis é igual a f, left parenthesis, x, right parenthesis, então sabemos que f é par.
  • Se f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis é o oposto de f, left parenthesis, x, right parenthesis, então sabemos que f é ímpar.
  • Caso contrário, ela não é par, nem ímpar.
Como um primeiro exemplo, vamos determinar se f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, x, cubed é par, ímpar ou nenhum dos dois.
f(−x)=4(−x)3=4(−x3)(−x)3=−x3=−4x3Simplifique=−f(x)Uma vez que f(x)=4x3\begin{aligned}f(\blueD{-x})&=4(\blueD{-x})^3\\ \\ &=4(-x^3)&&\small{\gray{(-x)^3=-x^3}}\\ \\ &=-4x^3&&\small{\gray{\text{Simplifique}}}\\ \\ &=-f(x)&&\small{\gray{\text{Uma vez que $f(x)=4x^3$}}}\\ \end{aligned}
Aqui f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, portanto a função f é uma função ímpar.
Agora, tente alguns exemplos sozinho(a) para ver se você consegue encontrar um padrão.
1) g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared é par, ímpar ou nenhum dos dois?
Escolha 1 resposta:

2) h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, start superscript, 5, end superscript é par, ímpar ou nenhum dos dois?
Escolha 1 resposta:

Conclusão da investigação

Com os problemas acima, vemos que, se f é uma função monomial de grau par, então a função f é uma função par. Da mesma forma, se f é uma função monomial de grau ímpar, então a função f é uma função ímpar.
Função parFunção ímpar
Exemplos g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, start superscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end superscripth, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, start superscript, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, end superscript
Em geralf, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, start color #aa87ff, n, end color #aa87ff, end superscript, em que n é start color #aa87ff, start text, p, a, r, end text, end color #aa87fff, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, start color #1fab54, n, end color #1fab54, end superscript, em que n é start color #1fab54, start text, ı, with, \', on top, m, p, a, r, end text, end color #1fab54
Isso acontece porque left parenthesis, minus, x, right parenthesis, start superscript, n, end superscript, equals, x, start superscript, n, end superscript quando n é par e left parenthesis, minus, x, right parenthesis, start superscript, n, end superscript, equals, minus, x, start superscript, n, end superscript quando n é ímpar.
Essa é provavelmente a razão pela qual funções pares e ímpares foram, a princípio, chamadas assim!

Investigação: simetria de polinômios

Nessa investigação, vamos analisar a simetria de polinômios com mais de um termo.

Exemplo 1: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 3, x, squared, minus, 5

Para determinar se f é par, ímpar ou nenhum dos dois, calculamos f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis.
f(−x)=2(−x)4−3(−x)2−5=2(x4)−3(x2)−5(−x)n=xn quando n eˊ par=2x4−3x2−5Simplifique=f(x)Uma vez que f(x)=2x4−3x2−5\begin{aligned}f(\blueD{-x})&=2(\blueD{-x})^4-3(\blueD{-x})^2-5\\ \\ &=2(x^4)-3(x^2)-5&&\small{\gray{(-x)^n=x^n\text{ quando $n$ é par}}}\\ \\ &=2x^4-3x^2-5&&\small{\gray{\text{Simplifique}}}\\\\ &=f(x)&&\small{\gray{\text{Uma vez que } f(x)=2x^4-3x^2-5}} \end{aligned}
Como f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, a função f é uma função par.
Observe que todos os termos de f são de grau par.

Exemplo 2: g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 3, x, cubed, plus, x

Novamente, começamos calculando g, left parenthesis, minus, x, right parenthesis.
g(−x)=5(−x)7−3(−x)3+(−x)=5(−x7)−3(−x3)+(−x)(−x)n=−xn quando n eˊ ıˊmpar=−5x7+3x3−xSimplifique\begin{aligned}g(\blueD{-x})&=5(\blueD{-x})^7-3(\blueD{-x})^3+(\blueD{-x})\\ \\ &=5(-x^7)-3(-x^3)+(-x)&&\small{\gray{(-x)^n=-x^n\text{ quando $n$ é ímpar}}}\\ \\ &=-5x^7+3x^3-x&&\small{\gray{\text{Simplifique}}}\\ \end{aligned}
Nesse ponto, observe que cada termo em g, left parenthesis, minus, x, right parenthesis é o oposto de cada termo em g, left parenthesis, x, right parenthesis. Em outras palavras, g, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, portanto g é uma função ímpar.
Observe que todos os termos de g são de grau ímpar.

Exemplo 3: h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, cubed

Vamos calcular h, left parenthesis, minus, x, right parenthesis.
h(−x)=2(−x)4−7(−x)3=2(x4)−7(−x3)(−x)4=x4 e (−x)3=−x3=2x4+7x3Simplifique\begin{aligned}h(\blueD{-x})&=2(\blueD{-x})^4-7(\blueD{-x})^3\\ \\ &=2(x^4)-7(-x^3)&&\small{\gray{(-x)^4=x^4\text{ e } (-x)^3=-x^3}}\\ \\ &=2x^4+7x^3&&\small{\gray{\text{Simplifique}}}\\\\ \end{aligned}
2, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 7, x, cubed não é igual a h, left parenthesis, x, right parenthesis, nem é o oposto de h, left parenthesis, x, right parenthesis.
Matematicamente, h, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, does not equal, h, left parenthesis, x, right parenthesis e h, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, does not equal, minus, h, left parenthesis, x, right parenthesis, portanto h não é par, nem ímpar.
Observe que h tem um termo de grau par e um termo de grau ímpar.

Conclusão da investigação

Em geral, podemos determinar se um polinômio é par, ímpar ou nenhum dos dois, examinando cada termo individualmente.
empty spaceRegra geralExemplo de polinômio
ParUm polinômio é par se cada termo for uma função par.f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 3, x, squared, minus, 5
ÍmparUm polinômio é ímpar se cada termo for uma função ímpar.g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 3, x, cubed, plus, x
Nenhum dos doisUm polinômio não é par, nem ímpar, se ele for composto tanto por funções pares quanto ímpares.h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, cubed

Teste seu conhecimento

3) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, squared, plus, 5 é par, ímpar ou nenhum dos dois?
Escolha 1 resposta:

4) g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 8, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 6, x, cubed, plus, x, squared é par, ímpar ou nenhum dos dois?
Escolha 1 resposta:

5) h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 10, x, start superscript, 5, end superscript, plus, 2, x, cubed, minus, x é par, ímpar ou nenhum dos dois?
Escolha 1 resposta:

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