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Função senoidal a partir do gráfico

Neste vídeo, encontramos a equação de uma função senoidal a partir de seu gráfico, no qual o ponto mínimo (-2,-5) e o ponto máximo (2,1) estão em destaque. Versão original criada por Sal Khan.

Transcrição de vídeo

RKA - Escreva a equação da função f(x) representada pelo gráfico abaixo. Claramente, quando a gente observa este gráfico aqui, é uma função periódica. E aí você já pode pensar: ora, ou é uma função seno, ou é uma função cosseno. Mas a sua linha média e a sua amplitude não estão aqui exatamente nos padrões das funções seno e cosseno. Como a gente pode ver, a linha média vai estar exatamente no meio entre o seu ponto máximo e o ponto mínimo da função. O ponto máximo é 1, e o ponto mínimo é - 5, como a gente pode observar aqui. Este ponto 1 aqui em cima vai ser o limite superior da função. E o ponto mínimo está aqui embaixo, é no y = - 5, é ou não é? Daí a linha média vai ser o seguinte: 1 + (- 5) = - 4, dividido por 2 vai dar - 2. Logo, esta aqui vai ser a nossa linha média. É a reta y = - 2, é ou não é? y = - 2. Então, já que a linha média está aqui, claramente esta função está meio deslocada para baixo. Agora vamos ver a amplitude. Ora, amplitude é quanto esta função aqui, no caso, ela vai para cima da linha média e para baixo também. Como a gente pode perceber, são 3 unidades para cima, 3 unidades para baixo. Logo, eu posso escrever que a amplitude desta função... a amplitude vai ser igual a 3. Então a gente já pode aqui, quem sabe, escrever que esta função vai ser "f(x)" = 3 vezes (já que 3 é a amplitude) o cosseno... (a gente ainda não sabe na verdade se é seno ou cosseno, mas eu vou tentar o cosseno aqui) o cosseno de alguma coisa vezes o "x", tudo isto ainda somado a nossa linha média, que no caso aqui é - 2, então vai ser - 2 aqui. Ou será que esta função aqui é uma função seno? Poderia ser f(x) = 3 (que é a amplitude) multiplicado pelo seno de alguma coisa vezes "x" - 2. Pois bem, como descobrir qual das duas funções a gente vai considerar? Basta a gente perceber aqui qual será o comportamento das duas quando "x" for igual a zero. Ora, se o "x" aqui é igual a zero, "k" vezes zero vai dar zero, e o cosseno de zero, não importa se está em grau ou radiano, vai ser igual a 1. Já o seno, não. O seno de zero, já que "k" vezes zero vai dar zero também, o seno de zero é igual a zero. E aí, o que isto aqui nos diz? Ora, repara aqui que quando "x" é igual a zero, nós estamos exatamente sobre a linha média aqui, isso quer dizer que, se nós estamos aqui, é porque isto daqui tudo dá igual a zero. Logo, a gente pode considerar que é a função seno, e podemos descartar a função cosseno, já que isto daqui não vai dar igual a zero e não vai estar sobre a linha média. Agora que nós sabemos que é a função seno, basta descobrir o valor do 'k". E para descobrir o valor do "k", basta que a gente dê uma olhada aqui no período desta função. E para a gente determinar este período, vamos pegar este ponto aqui como referência, por exemplo. Se nós partimos deste ponto aqui que claramente está numa inclinação positiva, nesta curva, nós vamos completar um período aqui neste ponto, sim ou não? E como nós podemos perceber, do zero até o 8, este período aqui, vai ser igual a 8, certo? E aí, quanto tem que ser o valor do "k" para que o período disto aqui seja igual a 8? Pois bem, como a gente sabe, o período de seno de "x"... Vou escrever aqui acima "período". O período de seno de "x" é 2 pi (π). A cada volta completa no círculo unitário, ou seja, percorremos 2π, voltamos ao mesmo ponto. E aí, qual vai ser o período então de seno de "k·x"? Ora, se estou multiplicando "x" por "k", isto quer dizer que este argumento vai ser "k" vezes maior, ou seja, isso vai ser a mesma coisa que 2π sobre "k", certo? Basta você perceber isto daqui, nós estamos multiplicando este argumento aqui por "k" e, logo, se o argumento está sendo multiplicado por "k", o seu período será menor do que o normal, sim ou não? Ou seja, vai ser a mesma coisa que 2π, que é o período normal do seno de "x", dividido por este "k". Ora, daqui nós temos a seguinte relação: que 2π sobre "k" vai ser igual a 8. Então se 2π sobre "k" é igual a 8, quanto tem que ser este "k" aqui? Para resolver isto, eu posso pegar o recíproco em ambos os lados, ou seja, inverter as duas frações. Então eu vou ter "k" sobre 2π = 1/8. Agora eu posso multiplicar ambos os lados da equação por 2π, certo? Então multiplicando aqui por 2π, eu vou ter o quê? Vou obter o seguinte: aqui do lado esquerdo, vai dar "k", e aqui do lado direito da equação, eu posso simplificar este 8 com este 2, aqui vai dar 1, aqui vai dar 4, então isto vai dar π sobre 4. O "k" é π sobre 4. Ou seja, no lugar deste "k" aqui, posso colocar o π sobre 4, certo? Nós podemos fazer essa verificação através do gráfico, e essa função vai ser exatamente "3 vezes seno (π sobre 4 vezes x) - 2". E assim nós finalizamos. Nos vemos no próximo vídeo.