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Problema de trigonometria: modelagem da temperatura diária

Neste vídeo, resolvemos um problema sobre a variação diária na temperatura, modelando-a com uma função senoidal. Versão original criada por Sal Khan.

Transcrição de vídeo

RKA1MB - Em Joanesburgo, em junho, a temperatura diária mais baixa é em torno de 3°C, e a mais alta é em torno de 18°C. A temperatura, normalmente, está na média entre a mais baixa e a mais alta do dia às 10 horas da manhã e às 10 horas da noite, e as temperaturas mais altas são durante a tarde. Escreva uma função trigonométrica que modele a temperatura, "T", em Joanesburgo, "t" horas após a meia noite. Vamos começar a pensar aqui sobre esse problema fazendo um esboço do gráfico dele. Então, aqui, nesse eixo vertical, eu vou ter a temperatura em graus Celsius (então, aqui vai ser o eixo da temperatura). E, aqui embaixo, no eixo horizontal, eu vou ter o eixo do tempo, que vai ser aquele “t”, que está em horas. Marcando aqui no eixo vertical as temperaturas, a gente sabe que é a maior do dia é 18 graus (então, eu vou colocar aqui 18°) e a menor do dia é de 3 graus (então, por aqui assim, eu marco 3°C). Agora, vamos ver a temperatura média (aqui no meio), que é atingida às 10 horas da manhã e às 10 horas da noite. Então, ela vai estar aqui no meio entre 18° e 3°. Portanto, a média dessas temperaturas, "18 + 3" é 21, e 21 dividido por 2 [é] "10,5". Então, "10,5°”, certo? Logo, bem aqui em "10,5°C" vai ser a nossa linha média. É ou não é? Aqui vai ser a linha média dessa função trigonométrica. E o gráfico da função vai oscilar nessa linha média aqui. Aqui vai estar o limite da minha temperatura diária mais alta, 18°C; e, aqui embaixo, o limite da temperatura mais baixa, que é de 3°C. E essa função vai oscilar aqui em torno dessa linha média e nós vamos marcar os pontos de máximo e de mínimo desse gráfico. E, para começar a resolver, para determinar a função trigonométrica, eu não vou atacar imediatamente esse problema que ele está pedindo aqui, eu vou fazer uma outra função; eu vou definir uma outra função f(t), que vai ser igual à temperatura em Joanesburgo "t" horas após as 10 horas da manhã (às 10 a.m.). Por que eu escolhi essa função aqui, "t" horas após as 10 horas da manhã? Ora, porque eu quero que no gráfico, quando esse "t" aqui for zero, o gráfico vai estar em "10,5", vai estar aqui, né? Porque vai ser às 10 horas da manhã. Então, como a gente pode ver aqui no enunciado, quando aquele "t" for zero (não tiver passado nenhuma hora), a temperatura vai estar na média, vai estar em 10,5. Agora é o seguinte: qual vai ser o período dessa função? Ora, após 24 horas, eu retorno às 10 horas da manhã. Sim ou não? Portanto, o período vai ser de 24 horas. Então, aqui no meio, entre zero e 24, são 12 horas. E o que acontece aqui 12 horas após as 10 da manhã? Ora, estaremos às 10 da noite e a temperatura vai estar, novamente, aqui na linha média; e, 12 horas mais tarde, eu retorno às 10 horas da manhã e a temperatura vai ser de “10,5°C”. Agora, vamos ver como é que se comporta esse gráfico. Ele me diz que as temperaturas mais altas são durante a tarde; e à tarde vai estar nesse intervalo aqui, de 0 a 12 horas após as 10 horas da manhã. Sim ou não? E, portanto, a temperatura mais alta vai estar bem aqui no meio entre zero e 12, ou seja, 6 horas após. Então, eu vou ter aqui a temperatura mais alta. E, aí, o gráfico vai oscilar dessa forma aqui, certo? Portanto, a temperatura mais alta vai ser às 4 da tarde e o gráfico vai ter esse aspecto aqui, certo? O gráfico vai ter esse aspecto aqui. E esse ponto aqui, o ponto em que a temperatura é mais baixa, vai ser 18 horas após as 10 horas da manhã; aqui no meio entre 12 e 24. Vai ser às 4 horas da manhã, certo? E é claro que esse gráfico aqui prossegue. Eu posso prosseguir com ele, inclusive, nas horas antes das 10 horas da manhã. E o que eu vou fazer, agora, aqui é tentar encontrar... em vez de partir direto para essa função aqui que ele nos pede... é tentar encontrar uma função trigonométrica que modele esse gráfico aqui que nós acabamos de fazer. Na verdade, o que eu peço agora para você é que você pause o vídeo e tente resolver você: encontrar uma função trigonométrica para esse gráfico aqui, beleza? Pois bem, aqui, na verdade, eu poderia usar tanto o seno quanto o cosseno; só que, na verdade, eu vou usar o mais simples (eu poderia usar qualquer uma das duas, mas eu vou usar a mais simples). E, para achar a mais simples delas, basta que eu faça a seguinte pergunta: qual é a função trigonométrica que vai começar aqui na linha média quando o argumento da função for igual a zero? Qual é a função? É seno ou cosseno? Pois bem, como a gente sabe, o seno de zero é zero; e, então, se nós não tivéssemos movido essa função daqui do zero (que seria a linha média da função seno), se nós não tivéssemos movido para cima esse gráfico, a função seno começa, exatamente, na sua linha média, no ponto zero; e, aí, a função seno oscila, exatamente, dessa maneira aqui, certo? Logo, pelo que eu estou vendo aqui, a função seno vai ser a função que vai melhor modelar esse gráfico. Então, f(t) vai ser igual a seno... e, agora, vamos determinar as outras coisas dessa função. Primeiramente, nós vamos verificar a amplitude da função. Aqui, a gente percebe o seguinte: o ponto máximo da função aqui está “7,5°” acima da linha média, assim como o ponto mais baixo da função aqui (“7,5°” abaixo da linha média), certo? Daí, a gente chega à conclusão de que a amplitude dessa função aqui vai ser de "7,5°C", ou, simplesmente, “7,5”. Então, eu posso botar aqui na frente do seno: 7,5, não é isso? Agora, eu vou analisar o período da função. Como nós já dissemos antes, o período vai ser de 24 horas (daqui até aqui se passam 24 horas). E, é claro, isso faz todo sentido: após 24 horas, nós voltamos para o mesmo ponto do dia, às 10 horas da manhã do dia seguinte. Portanto, eu vou ter aqui “7,5” vezes o seno de 2π/24, e tudo isso multiplica por "t". Daí, aqui você pode pensar o seguinte: ora, por que dividiu por 24 aqui? Ora, a gente sabe que tem que dividir 2π pelo período da função, que é 24. Mas, aí, você pode pensar assim também: qual é o valor do "t" que, quando eu multiplico esse período aqui, eu tenho 2π (que é, exatamente, um ciclo naquele nosso círculo trigonométrico)? Ora, o "t" tem que valer 24 para que eu simplifique aqui e tenha seno de 2π, que vai ser exatamente um período naquele círculo trigonométrico. Ficou claro? Portanto, quando "t" for zero aqui, eu vou estar nesse ponto inicial de “10,5”; e, quando "t" for 24 (um período completo aqui do dia, sim ou não?)... quando o "t" for 24, eu vou simplificar e vai dar seno de 2π. Vai dar exatamente um período, um ciclo naquele círculo trigonométrico, beleza? E, a essa altura aqui, nós quase terminamos; o que está faltando aqui, na verdade, é que essa função, se nós fizéssemos o gráfico dela, ela começaria aqui do zero. Como nós andamos "10,5" unidades aqui para cima (daqui para cá tem 10,5), então, eu preciso somar aqui no final da função “10,5”, E, dessa forma aqui, nós de maneira bem-sucedida conseguimos modelar essa função aqui. Beleza? Eu poderia só simplificar esse 2π/24 (daria π/12), mas nós modelamos essa função. Só que no problema não é isso que ele pede, certo? Está aqui no enunciado do problema: ele quer uma função trigonométrica que modele a temperatura "t" em Joanesburgo “t" horas após a meia-noite. Portanto, eu vou definir aqui uma outra função que é o "T” (que é a temperatura) de "t" em horas. Qual vai ser, então, essa função aqui que, finalmente, vai modelar esse problema? Ora, nós vamos ter a mesma amplitude (portanto, "7,5"), tudo isso que multiplica o seno... ora, aqui dentro no argumento, eu posso simplificar 2π/24 e colocar π/12... e aqui, em vez de simplesmente colocar o "t", o que eu vou fazer é andar com esse gráfico um pouquinho, porque eu não vou partir às 10 horas da manhã, eu vou partir da meia-noite. Eu posso mover esse gráfico aqui em ambas as direções, mas vamos ver como é que vai se comportar isso daqui, né? Então, vai ser "t" mais ou menos alguma coisa. E tudo isso eu ainda somo com "10,5" (é que o gráfico está aqui em cima também; mesma coisa). Então, só o que vai mudar vai ser esse argumento aqui, a parte do "t". Pois bem, aqui nessa função, que a gente definiu primeiro, 10 horas da manhã está aqui. E nessa função aqui, T(t), onde vai estar 10 horas da manhã? Se a gente está começando aqui de meia-noite... então, eu vou escrever aqui assim: T(10) vai ser igual a quanto em relação a essa outra função aqui? Ora, T(10) vai ter que ser a mesma coisa da f(0). É ou não é? Porque a f(0) começa aqui às 10 horas da manhã. Portanto, essa f(0) aqui nos diz a temperatura às 10 horas da manhã, certo? 10 a.m. E essa função aqui T(10), como ela começa à meia-noite (a T(10) vai ser às 10 horas da manhã), então, aqui também me diz a temperatura às 10 horas da manhã (às 10 a.m.). Ou seja, quando eu tenho a f(0), esse argumento aqui é zero; portanto, quanto eu vou ter que ter aqui nesses parênteses aqui do "t" para que esse argumento dê zero se eu estou começando à meia-noite? E, aí, como é que esse argumento aqui vai dar zero quando esse "t" vale 10? Ora, "10 - 10" é zero, né? Então, eu vou ter que tirar 10 aqui. Daí, você percebe o seguinte: quando esse "t" vale 10 (às 10 horas da manhã), “10 - 10” vai dar zero, e esse argumento aqui vai dar zero. Logo, tudo isso vai dar zero e o gráfico vai estar em "10,5". Exatamente como aconteceu aqui; só que 10 horas da manhã, neste novo gráfico, vai estar por aqui assim. E aqui em cima a mesma coisa. Nesse caso aqui, a f(0), o zero começa às 10 horas da manhã; e, aí, esse argumento todo dá zero e o gráfico vai estar em “10,5” como nós desenhamos aqui. Logo, beleza! Está certinho! E, agora, o que eu quero fazer aqui é desenhar o gráfico dessa função que nós acabamos de determinar, que é a função que responde ao problema. Não precisava nem fazer o gráfico, mas eu quero fazer o gráfico aqui só para a gente ver como é que fica. Ele nos pede aqui apenas a função trigonométrica. A função trigonométrica está aqui. Então, vai ser o seguinte: quando eu faço isso, esse "t - 10" aqui, e, como eu sei que essa função começa à meia-noite, 10 horas da manhã, aqui neste gráfico, vai estar onde (no gráfico do "T")? Vai estar por aqui... aqui é meia-noite (o ponto zero), 10 horas da manhã vai estar por aqui assim. São 2 horas antes de 12 horas, 2 horas antes do meio-dia. Portanto, vai estar por aqui; e o que acontece é que esse gráfico aqui foi deslocado 10 unidades para a direita. E isso faz todo sentido. É ou não é? Se aqui é meia-noite, 10 horas da manhã vai ser 10 horas a mais aqui para a direita. Daí, como esse ponto aqui se deslocou 10 unidades para a direita, esse ponto aqui também vai se deslocar 10 unidades para a direita (vai ficar por aqui assim), e o gráfico vai parecer com isso aqui, certo? E, é claro, esse gráfico prossegue dessa maneira aqui e para cá também. Então, o gráfico vai se parecer mais ou menos com isso aí que eu desenhei, né? Portanto, tudo o que nós tivemos que fazer aqui, em relação a essa função aqui inicial que a gente determinou, f(t), foi deslocar esse gráfico 10 unidades para a direita. Beleza? Então, até o próximo vídeo!