Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:5:08

Transcrição de vídeo

Vamos dizer que temos a função f de x igual a x ao quadrado mais um. E o que nós queremos fazer é descobrir o valor médio da nossa função F no intervalo fechado entre zero e, digamos, entre zero e três. E eu incentivo vocês a pausar este vídeo, e especialmente se você viu os outros vídeos sobre a ideia de valor médio de uma função Descubra o que é isto. Qual é o valor médio da nossa função f no intervalo? Considerando que você tentou, vamos visualizar o que acontece e então podemos efetivamente achar a média. Bom, esse é o meu eixo Y. Esse é o meu eixo X. Agora no intervalo entre zero e três, digamos que isso é zero, isso é um, dois, três. É um intervalo fechado. Quando, quando x é zero, f de zero será um. Portanto, nós estaremos bem aqui. f de um é dois, e isso é um, dois, três. Na verdade, deixa eu fazer essa escala um pouco menor. Eu tenho que ir até nove, até dez Então, isso será dez Isso vai ser cinco e daí um, dois, três. Na verdade o mais difícil É deixar do mesmo tamanho. Vamos ver. Isso ficará no meio. Muito bom. E então vamos ver, no meio e temos lá. Assim está bom Teremos ali. Eu tenho obviamente escalas diferentes para os eixos X e Y. Dois ao quadrado mais um é cinco. Três ao quadrado mais um é dez. Três ao quadrado mais um é dez. Vai ficar parecido como isso. Assim é como a nossa função vai parecer Esse é o gráfico de Y igual a F de X. E nós queremos o valor médio do intervalo, intervalo fechado, entre zero e três, entre zero e três. Uma maneira de pensar nisso, é aplicar a fórmula. Mas é muito importante pensar sobre o que a fórmula significa E você não deve memorizá-la porque ela não se enquadra no que ela realmente significa. Então, a média da nossa função será, ela será igual a integral definida neste intervalo. Essencialmente, a área sob esta curva. Portanto, será a integral definida de zero a três da f de x, que é x ao quadrado mais um dx. E nós pegaremos esta área, nós pegaremos esta área bem aqui e nós a dividiremos pela largura do nosso intervalo para basicamente chegarmos a média de altura ou o valor médio da nossa função. Então nós vamos dividir por B menos A, ou três menos zero, que será três. E agora nós temos que calcular isso. Isso será igual a 1/3 vezes a antiderivada de X ao quadrado é X ao cubo sobre três. Antiderivada de um é x. E calcularemos isso de zero a três. Isso será igual a 1/3 vezes, quando calcularmos pelo três, deixa eu usar outra cor aqui. Quando calcularmos pelo três, isso será três ao cubo dividido por três. Bom, isso será 27 dividido por três que é nove, mais três. E quando calculamos por zero, menos zero, menos zero. Vai ser menos, menos, quando calculamos por zero vai ser zero. Portanto ficamos com, eu quero fazer esses colchetes da mesma cor. Isso será 1/3 vezes 12. 1/3 vezes 12 que é igual a quatro, que é igual a quatro. Este é o valor médio da nossa função O valor médio da nossa função neste intervalo, neste intervalo é igual, o valor médio da nossa função é igual a quatro. E perceba, a nossa função atinge esse valor em um ponto do intervalo. Em um ponto no intervalo, algo menor do que dois mas maior do que um, podemos talvez chamá-lo de C. Parece que a nossa função atinge esse valor. E na verdade isso, isso se torna, isso é, isso é uma verdade geralmente. Isso é um teorema do valor médio para integrais, e nós nos aprofundaremos nisso. Mas você pode ver que isso meio que parece o valor médio. Se você imaginar uma caixa, se você multiplicar essa altura, esse valor médio vezes essa largura, você terá esta área aqui. E essa área bem aqui é a mesma, esta área que eu estou destacando em amarelo aqui, é a mesma do que área abaixo da curva. Porque nós temos a altura média vezes a largura é a mesma que a área sob da curva. Bem, espero que vocês tenham achado interessante. Legendas por Vladimir Proença. Revisado por [Cainã Perri]