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Transcrição de vídeo

temos muitos vídeos sobre o tema do valor médio mas eu vou revisar isso um pouco para que possamos ver como isso se conecta com o teorema do valor médio que aprendemos em cálculo diferencial como se conecta como que aprendemos sobre o valor médio de uma função usando integrantes definidos o teorema do valor médio nos disse que se eu tenho uma função efe que é contínua continua no intervalo fechado então está incluindo os pontos finais de a para b e é diferenciável de modo que a derivada é definida no intervalo aberto de a para b então não necessariamente precisa estar definida a diferenciava nos limites desde que seja diferenciável entre os limites então nós sabemos que existe algum valor ou algum número um - e toque e esses e ele vai estar entre os dois pontos finais do nosso intervalo então a é menor que c que é menor que b então se está portanto dentro desse intervalo e acho que essa parte mais importante é a parte mais importante é que é derivada a derivada da nossa função naquele ponto é igual essencialmente a taxa média da avaliação sobre intervalo ou você pode pensar nisso como inclinação entre os dois pontos finais inclinação entre os dois pontos finais será avaliação e y que será a avaliação do valor da sua função então será efe db - fd a sobre b - a nós vimos isso e muito mais detalhes quando cobrimos o cálculo diferencial mas só pra te dar um pouco de visualização sobre isso eu vou fazer uns desenhos aqui uns gráficos porque eu acho que isso pode ser útil então vamos lá aqui temos um plano e aqui temos o a aqui temos o b então temos aqui a nossa função isso daqui efe ja/an isso daqui efe db e essa daqui então a diferença gf db - fdh sobre então o que seria a diferença de b - a que esta aqui então ftb - f já sobre b - a isso daqui graficamente vai gostar a inclinação essa inclinação que passa bem aqui então este que vai ligar os dois pontos e o tema do valor médio vai nos dizer que existe algum ponto aqui onde a inclinação será a mesma algum ponto ce onde inclinação será a mesma então há pelo menos 16 onde inclinação da linha tangente é a mesma que a inclinação média através do intervalo e mais uma vez temos que assumir que f é contínua e diferenciável agora quando você ver isso isso talvez pode despertar algumas semelhanças com o que vimos quando estudamos o quando nos definimos o que podemos dizer isso a fórmula para o valor médio de uma função o que vimos quando o valor médio da função nós dissemos que o valor médio da função ele vai ser igual a 1 sobre o bê - a vezes a integral definida de a atb df the xx bom isso é interessante porque aqui temos uma derivada e aqui temos uma integral e talvez podemos ligá los talvez poderemos conectar essas duas coisas uma coisa que eu posso dizer pra você é que talvez nós podemos reescrever nós podemos reescrever a esse número a dor aqui de alguma maneira então eu encorajo você ou pausar do vídeo e ver se você pode resolver sozinho vou te dar uma grande dica ao invés de ser um fdx aqui o que acontece se houver um é filhinho de x então pode tentar então vamos lá isso daqui você é igual a integral definida de a atb df linha de x de x pense nisso você tomar antes de levado de a filhinha de x que será fdx e você vai calcular em b efe db e depois disso você irá subtrair pelo calculado em a menos fd a essas duas coisas que são idênticas então você pode é claro dividir isso for bem - ah então você pode dividir isso pb - a e agora isso está começando a ficar interessante uma maneira de pensar sobre isso é que deve haver um ser que quando você calcula a derivado em ser ela admite o valor médio da elevada outra maneira de pensar sobre isso se fossemos apenas escrever gtx é igual à filhinho x então chegaremos muito perto do que temos aqui porque isso aqui será gdc lembre-se é filhinho de ser a mesma coisa que já disse é igual a 1 sobre b - ah então existe um ser onde g dc é igual a 1 sobre b - a vezes a integral definida de a atb dgd xx e é filho de x é a mesma coisa que gtx então essa aqui é uma outra maneira de pensar nisso é uma outra forma do teorema do valor médio e nós podemos chamar de teorema do valor médio para integrais bom para no sentido um pouco mais formal vamos aqui um pouco para baixo então você tem uma função g d x que é contínuo nesse intervalo fechado em do dia a atb então existe um ser nesse intervalo onde gdc é igual o que é isso daqui isso aqui é o valor médio da função então existe um ser então existe um senecio intervalo onde gdc é igual ao valor médio da função sobre a integral essa foi a nossa definição do valor médio de uma função isso é apenas outra maneira de dizer que você pode ver alguns teremos de valor médio e apenas para lhe mostrar que estão inteiramente ligados estão usando anotações diferentes mas são essencialmente as mesmas idéias do teorema do valor médio que você aprendeu no cálculo diferencial mas agora conotação diferente eu acho que não pode ter uma interpretação diferente estávamos pensando sobre isso em cálculo diferencial estávamos pensando em ter um ponto onde a inclinação da linha tangente da função naquele ponto é a mesma que a taxa média então quando estávamos no modo diferencial pensávamos em termos de inclinações inclinações das linhas tangentes e agora que estamos no modo integral pensamos mais em termos de valor médio valor médio da função portanto alguns serra onde gdc onde a função calculada nesse ponto é igual ao valor médio então uma outra maneira de pensar sobre isso se eu fosse desenhar um gráfico se eu fosse de 0 no gráfico então estou aqui há ys daqui xisto aqui a função y negócios de x que na verdade é a mesma coisa que a filha de che se nós apenas rescrever vamos agora para ser mais consistente com nosso favor de valor médio bom nós estamos falando sobre intervalo de a atb e nós já vimos como calcular o valor médio nós já vimos como calcular isso então o valor médio talvez esteja aqui este hoje médio então nosso valor médio é isso e o teorema do valor médio para integrais nos diz que algum ponto onde a nossa função deve assumir este valor nem ser considerando que cesta dentro desse intervalo
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