Cálculo da integral do disco ao redor de uma reta vertical

RKA3JV - No vídeo passado, nós vimos como calcular o volume de um sólido em revolução. Neste vídeo, vamos desenvolver a integral que vimos no vídeo passado e ver um resultado numérico para esta integral. Então, temos aqui, igual a π vezes a integral de -1 até 3, de quadrado do primeiro, "y + 1", mais 2 vezes o primeiro pelo segundo. 4 √y + 1, mais o quadrado do segundo 4, isso tudo dy. Nós vamos ter 1 + 4. Já podemos colocar que é 5. Então, vamos ter que o volume vai ser igual a π vezes a integral de "y", vai ser igual a y² / 2 mais a integral de 4 √y + 1, nós podemos dizer que é 4 vezes (y + 1) elevado a 1/2. Somando 1 no expoente, vamos ter y + 1 elevado a 3/2. E vamos multiplicar por 2/3, ou seja, 8/3. Quando derivarmos, o "y" fica 1. Então, a multiplicação não vai existir. Então, pela regra da cadeia, nós vamos ter apenas 8/3 de y + 1 elevado a 3/2. Então, podemos colocar 8/3 de y + 1 elevado a 3/2 + 5. Integrando, vamos ter 5y. Isto tudo no espaço de -1 até 3. Portanto, vamos ter π vezes 9/2, mais 3 + 1 = 4 que é 2² / 2. Vamos ficar com 2³ que é 8. 8 vezes 8 = 64 sobre 3, mais 5 vezes 3 que é 15, menos, -1² / 2 ou 1/2. mais, -1 + 1 = 0, elevado a qualquer coisa vai dar zero. Ou seja, mais 5 vezes -1. Ou seja, -5. E, agora, podemos desenvolver e calcular o volume final. Ou seja, o nosso volume será igual a π, vamos colocar tudo na fração sobre 6. Vamos ter sobre 6. 3 vezes 9 = 27. Mais, vezes 2 dá 128, sobre 6. Mais, 15 vezes 6 dá 90. Sobre 6. Menos, para ficar sobre 6, vamos colocar vezes 3 em cima e embaixo. Então, -3/6, menos, 5 vezes 6 = 30, sobre 6. Então, ficamos com 27 + 128, vai dar 155. 155 + 90 vai dar 245, menos 3 vai dar 242. Menos 30, aliás, aqui é menos com menos, dá mais. Então, aqui é mais! Desculpa! Aqui, menos com menos dá mais. Aqui é mais 30. Então, mais 30, vamos ter 272. Então, ficamos com o volume igual a π vezes 272 / 6. 272 é um número par, 6 também. Portanto, podemos simplificar para a metade de 272 é 136, vezes π / 3. Agora, não podemos simplificar mais, porque 136 não é divisível por 3. E chegamos à nossa resposta final.