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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 8
Lição 10: Volume com método do disco: revolucionando em torno de outros eixosMétodo do disco para rotação ao redor de uma reta horizontal
Sólido de revolução construído pela rotação ao redor de uma reta que não é um eixo. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2G - Temos aqui a curva que representa
"y" igual à raiz quadrada de "x" e vamos agora obter um sólido
de revolução a partir dela, mas não rotacionando-a em torno
dos eixos "x" ou "y", mas em torno de alguma outra
referência qualquer. Neste caso, por exemplo, vamos
rotacioná-la ao redor da linha y = 1. A primeira coisa que vamos fazer
é visualizar o que temos aqui. Na verdade, antes disso ainda, devemos nos importar com qual
intervalo vamos considerar. Vamos combinar que o intervalo
que nos interessa aqui é o intervalo que vai deste ponto,
onde as linhas se cruzam, até o ponto onde x = 4. Este é o intervalo do gráfico
que nós vamos rotacionar. E não vamos rotacionar ao redor do eixo "x", mas ao redor desta reta y = 1. Como vai ficar isto, então? Estamos tratando de rotacionar
em torno disto aqui. Então, o que nós vamos obter é algo como isto,
lembrando um pouco um cone. É uma forma como esta aqui. Mas agora nós vamos repensar exatamente
como obter o volume deste sólido de revolução. Vamos pensar nisso disco por disco, vamos construir um disco bem aqui. Nós já fizemos isso em outras situações. Vamos obter o volume de cada disco
para depois somá-los todos. Assim, vamos poder chegar ao volume total. E, para encontrar o volume
de cada disco destes, precisamos achar a área desta face e multiplicá-la pela sua profundidade,
ou altura, como você queira chamar. Mas, como se trata de um círculo,
esta face é um círculo, a sua área é π vezes o seu raio
elevado ao quadrado. Qual é o raio deste círculo? Não é a raiz quadrada de "x", porque a raiz quadrada de "x"
é a distância do eixo "x" até o gráfico da curva "y" igual à raiz de "x". Aqui nós temos a raiz quadrada de "x",
menos 1.. Este comprimento é a raiz quadrada
de "x", menos 1, porque nós estamos descontando
a distância da reta y = 1 até o eixo "x". Isto para qualquer "x" no intervalo. Isto é, essencialmente, o valor da função para aquele ponto onde estamos considerando, menos 1, que é o valor daquilo
em volta do qual estamos girando. Isto, então, é a área da base. Temos que multiplicar pela altura
deste cilindro. E altura dele é dx, o elemento dx. Ou seja, o volume de cada um destes discos é: π vezes a raiz quadrada de "x", menos 1,
ao quadrado, vezes dx. É isso que queremos somar no intervalo. E o intervalo começa aqui, onde "x" vale 1, porque a raiz quadrada de 1 é 1, até... Já tínhamos combinado no começo... quando x = 4. Cuidado aqui para não confundir a reta y = 1 com o eixo "x". Quando estamos calculando a integral
de 1 a 4 de raiz quadrada de x - 1, estamos tomando esta área para depois
rotacionar em torno de y = 1. Esta integral definida vai nos dar
o volume do sólido de revolução. Agora, temos que calcular esta integral. Reescrevendo a integral, vamos ter
o π do lado de fora e eu vou também desenvolver o que
está entre parênteses, que é a raiz quadrada de x - 1, tudo ao quadrado, que é a mesma coisa que raiz quadrada
de x - 1, vezes raiz quadrada de x - 1. Raiz quadrada de "x" vezes ela mesma
resulta em "x". -1 vezes raiz quadrada de "x" dá menos
raiz quadrada de "x" e isso se repete de novo aqui no
raiz quadrada de "x" vezes -1. E -1 vezes -1 dá + 1. Escrevendo novamente aqui na integral,
já de maneira um pouco mais simples, nós vamos ter "x" menos 2 vezes
a raiz quadrada de "x", mais 1. E tudo isso vezes dx. Esta é a integral que precisamos calcular. Isto tudo vai ser igual a π vezes toda
esta integral. Vamos lá. A antiderivada, ou integral, de "x", é x²/2, menos 2 vezes... Agora a antiderivada
da raiz quadrada de "x", lembrando que a raiz quadrada de "x"
é "x" elevado a 1/2. Podemos usar a regra da potência para
fazer a antiderivada. Então, "x" elevado a 1/2. Aumentando 1 no
expoente, vamos ter "x" elevado a 3/2, vezes 2/3. Escrevendo melhor, 2/3 vezes "x" elevado a 3/2. Para fazer mais devagar, este -2 é o quevocê está vendo aqui. E esta expressão bem aqui é a antiderivada
da raiz quadrada de "x". Você pode verificar isso facilmente fazendo
a derivada de 2/3x elevado a 3/2 e vai voltar para a raiz quadrada de "x". Agora, a primitiva ou antiderivada de 1,
que é simplesmente "x". Agora vamos ter que calcular isto para
"x" indo de 1 até 4. Vai dar π vezes... Colocando 4 lugar do "x",
vamos ter 4²/2, menos... 2 vezes 2/3 fica 4/3. Agora, 4 elevado a 3/2. 4 elevado a 1/2 é a raiz quadrada de 4,
que dá 2. E agora, elevado à terceira potência,
temos 8, mais o "x", que é 4. Agora, devemos subtrair toda esta expressão
com 1 no lugar do "x" Temos os primeiros parênteses indicando
quando "x" era 4, menos... E agora, neste segundo par de parênteses, vamos trocar o "x" por 1. Quando "x" vale 1, a primeira fração é 1²/2,
que é 1/2. No segundo termo, 1 elevado a
qualquer outro expoente é 1, Portanto, ficamos com -4/3, apenas. E o +x é simplesmente +1. Agora vamos simplificar tudo isto aqui. Temos π vezes, abre parênteses: 4² são 16, dividido por 2 = 8. Menos... 4 vezes 8 são 32, sobre 3, mais 4. Agora, já distribuindo o sinal de menos,
vamos ter -1/2 menos -4/3, ou seja, +4/3, e -1. Vamos ter π, que mulitplica... Agora vamos achar o MMC de todos
os denominadores, que é 6. Arrumando os numeradores, 8
é a mesma coisa que 48/6. Aqui o denominador era 3, então,
vamos ter que multiplicar por 2 para ficar equivalente, vamos ter 64. Mais... O 4 vai se tornar 24/6,
então aqui é 24. Menos... 1/2, o denominador era 2.
Multiplicado por 3 para chegar em 6, então, o numerador fica 3. Mais... O 4 também vai ser multiplicado
por 2. Vai ser 8. E -1 vezes 6 são -6. Agora só mais um pouquinho de aritmética
aqui para ver onde chegamos. 48 - 64 são -16. -16 + 24 são 8 positivos. 8 - 3 = 5, mais 8 são 13, e menos 6 são 7, sobre 6. Ou seja, este volume que estamos
procurando é 7π/6. Com isso, concluímos e calculamos
o volume deste sólido de revolução. Até o próximo vídeo!