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Transcrição de vídeo

temos aqui a curva que representa y igual a raiz quadrada de x e vamos agora obter um sólido de revolução a partir dela mas não rotacionando em torno dos eixos x ou y mas em torno de alguma outra referência qualquer neste caso por exemplo vamos rotaciona la ao redor da linha y igual a 1 a primeira coisa que vamos fazer a visualizar o que temos aqui na verdade antes disso ainda devemos nos importar com qual intervalo vamos considerar vamos combinar que o intervalo que nos interessa aqui é um intervalo que vai deste ponto onde as linhas se cruzam até o ponto onde x é igual a quatro então este aqui é o intervalo do gráfico que nós vamos rotacionar e não vamos rotacionar ao redor do eixo x mas ao redor desta reta y igual a 1 como vai ficar isso então estamos tratando de rotacionar em torno disto aqui então que nós vamos obter é algo como isto lembrando um pouco um cone mas é uma forma como esta aqui mas agora nós vamos repensar exatamente como obter o volume deste sólido de revolução vamos pensar nisso disco por disco vamos construir um disco bem aqui nós já fizemos isso em outras situações vamos obter um volume de cada disco para depois somá los todos e assim nós vamos poder chegar ao volume total e para encontrar o volume de cada disco desses precisamos achar a área desta face e multiplicá la pela sua profundidade ou altura como você queira chamar mas como se trata de um círculo esta fase é um círculo então a sua área ep vezes o seu raio elevada ao quadrado agora qual é o raio deste círculo aqui não é a raiz quadrada de x porque a raiz quadrada de xis ea distância do eixo x até o gráfico da curva y negócios de xis aqui nós temos a raiz quadrada de x - um esse comprimento aqui a raiz quadrada de x - um porque nós estamos disputando a distância da reta y igual até o eixo x isso para quê quero x no nosso intervalo isso é essencialmente o valor da nossa função para aquele ponto onde estamos considerando menos um que é o valor daquilo em volta do qual estamos girando isso então é a área da base temos que multiplicar em pela altura deste cilindro e à altura dele é de x o elemento de x ou seja o volume de cada um desses discos ep vezes a raiz quadrada de x - 1 ao quadrado de x é isso que queremos somar no nosso intervalo eo nosso intervalo começa aqui onde x vale 1 porque a raiz quadrada de um é um até já tínhamos combinado no começo quando x é igual a quatro cuidado aqui para não confundir a reta y igual 1 com o eixo x quando estamos calculando integral de 1 a 4 de raiz quadrada de x - um estamos tomando essa área para depois rotacionar em torno de y igual então esta integral definida vai nos dar o volume do nosso sólido de revolução agora temos que calcular então esta integral reescrevendo a integral vamos ter o pib do lado de fora e eu vou também desenvolver o que está entre parênteses que é a raiz quadrada de x - um tudo ao quadrado que a mesma coisa que raiz quadrada de x menos 11 vezes raiz quadrada de x - um raiz quadrada de x vezes ela mesma resulta em x menos 1 vez raiz quadrada de x da - raiz quadrada de x e isso se repete de novo aqui no raiz quadrada de x menos um e menos 1 vez menos um dá mais um escrevendo novamente aqui na integral já de maneira um pouco mais simples nós vamos ter x menos duas vezes a raiz quadrada de x mais um e tudo isso vezes de x essa é integral que precisamos calcular isso tudo vai ser igual ap vezes todas integral vamos lá antes derivada ou integral de xx quadrados sobre dois menos duas vezes agora ante derivada da raiz quadrada de x lembrando que a raiz quadrada the xx e levada meio podemos usar a regra da potência para fazer a aderir wahda então x elevada meio aumentando no expoente vamos ter x elevado a três meios vezes dois terços escrevendo aqui melhor dois terços vezes x elevada três meios para fazer mais devagar e se menos dois é o que você está vendo aqui e essa expressão bem aqui é anti derivada da raiz quadrada de x você pode verificar isso facilmente fazendo a derivada de dois terços x elevados a três meios e você vai voltar para a raiz quadrada de x agora a primitiva ou anti derivada de um que é simplesmente x agora vamos ter que calcular isso para chissindo de um até quatro então vai dar pique e eses agora colocando quatro lugar do x vamos ter quatro ao quadrado sobre 2 - o 2 vezes o dois terços fica quatro terços agora quatro levado a três meios 4 elevado a meio é a raiz quadrada de 4 que dá 2 e agora elevado a terceira potência temos oito mais o xis aqui que é 4 agora devemos subtrair toda essa expressão com um no lugar do x temos os primeiros parentes e se indicando quando x era 4 - e agora nesse segundo par de parentes vamos trocar o x por um quando x vale 1 a primeira fração é um ao quadrado sobre dois que é meio agora no segundo termo um elevado a qualquer outro expoente a 1 portanto ficamos com menos quatro terços apenas e o mais x é simplesmente mais um agora vamos simplificar tudo isto aqui temos pi vezes abre parênteses quatro quadrados são 16 / 28 menos quatro vezes oito são 32 sobre três mais quatro agora já distribuindo o sinal de menos vamos ter menos um meio menos menos quatro terços ou seja mais 4 terços e menos um vamos ter então pique multiplica agora vamos achar o mmc de todos os denominadores que é 6 agora a romã dos números dores 8 a mesma coisa que 48 sobre seis aqui o denominador era 3 então vamos ter que multiplicar por dois para ficar equivalente vamos ter 64 mas o 4 vai se tornar 24 sobre seis então aqui 24 - um meio de iluminadora 2 x 3 para chegar em 6 então o numerador fica 3 mas o 4 também vai ser x 2 vai ser 8 e 1 - um v6 são menos seis agora só mais um pouquinho de aritmética aqui para ver onde chegamos 48 - 64 são - 16 - 16 mais 24 são oito positivos 8 menos 35 mais oito são 13 e menos 67 sobre 6 ou seja este volume que estamos procurando é setp sobre seis com isso concluímos e calculamos o volume deste solo de revolução até o próximo vídeo
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