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Transcrição de vídeo

nesse vídeo nós vamos generalizar o que fizemos no último vídeo e para fazer isso vamos desenhar aqui os nossos eixos e se daqui o meu eixo y esse daqui é o meu eixo x e vamos ter duas funções aqui vamos dizer que nós temos uma função bem aqui e que se parece com algo mais ou menos assim essa que é uma função fdx e aqui nós temos uma outra função que vai ser gd x e vamos dizer que essa função gtx tenha essa aparência a verde y igual fdx e azul e y igual a gtx o que nós fizemos no último vídeo foi pensar a respeito do volume do sólido de revolução que obteremos se a gente gerar essas duas funções ao redor do eixo x ou seja em torno do eixo x tecnicamente a gente poderia fazer qualquer coisa e utilizar qualquer função para fazer isso ok mas de acordo com o que nós fizemos aqui a gente vai obter algo que teria uma forma de um cogumelo algo bem parecido com o cogumelo por fora a gente teria algo parecido com cogumelo e por dentro a gente teria algo semelhante a um cone claro que isso daqui a maneira com a qual eu desenhei essas duas funções mas o que nós queremos fazer aqui é generalizar matemática disso pra então a gente determina o volume desses sólido de revolução e como que a gente pode fazer isso bem nós podemos pensar em discos mas como isso é que se trata de duas funções ao invés de a gente pensar em discos vamos pensar em algo elas agora o que é essencialmente a mesma coisa que a gente fez no último vídeo mas tem um conceito levemente diferente então vamos imaginar que a gente tenha esse pedacinho entre essas duas funções algo bem assim e aí a minha pergunta é qual vai ser a largura desse pedaço bem isso aki vai ser igual à de x e nós vamos virar tudo isso ao redor de x se a gente tirar isso daqui ao redor de x nós teremos uma ruela e é por isso que chamamos isso aqui de método da rua ela também chamado às vezes método da varredura ok é chamado de método da rua ela porque a gente tem um disco com uma abertura em seu interior onde essa parte que é o interior do carro ela essa outra o exterior da rua ela exterior da rua ela se parece com isso espero que isso faça sentido para você a superfície dessa rua ela vai aparecer com algo mais ou menos assim eu sei que poderia desenhar um pouco melhor mas eu espero que sirva para o nosso propósito que é entender todas essas idéias a superfície da rua ela que se parece com isso aqui tem uma profundidade ou seja mais pessoa de x então essa daqui a nossa espessura de x-men marro ela é como se fosse uma moeda furada certo então essa moeda furada tem uma espessura e como é que a gente pode achar o volume dessa ruela se nós conhecemos as superfícies sabemos a área da face dessa ruela nós podemos multiplicar a essa área pela profundidade ou seja pela espessura bem gente já sabe que a espessura é de x mas qual é a área dessa ruela bem vamos ver aqui inicialmente a gente pode imaginar a área dessa superfície caso ela não fosse furada bem pra gente determinará dessa superfície a gente teria pi vezes todo o raio externa elevada ao quadrado certo então a gente teria pib vezes o raio externo ao quadrado e qual é o raio externo raio do exterior dessa ruela bem ohio dessa rua ela seria fdx então a gente vai pegar esse fdx e levar ao quadrado essa expressão aqui nos daria a área total da face caso essa rua ela fosse uma moeda ou seja caso ela não tivesse um furo em seu interior no entanto como sabemos que ela tem futuro a gente precisa subtraía área desse furo interior e qual seria essa área interior seria essa parte bem aqui então nós vamos subtrair da área total então a gente teria que pe viso raio interior elevada ao quadrado e qual seria o raio interior em ohio interior nesse caso seria gtx então a gente teria piv exige de x elevada ao quadrado essa é a função anterior pelo menos no intervalo que nós estamos observando essa que seria a área total dessa ruela pifes fdx elevada ao quadrado - piv e gtx elevada ao quadrado ea gente pode faturar isso sim a gente pode a gente pode colocar sp em evidência então colocando e cip em evidência a gente vai ter p vezes abro parênteses fdx elevador quadrado - gd x elevada ao quadrado fecha parênteses bem essa daqui a área da rua ela mas a gente quer o volume como que podemos determinar o volume dessa coisa basta pegar essa área e multiplicar pela profundidade de cada ruela então o volume de cada uma dessas arruelas seria igual ap vezes fdx ao quadrado - gtx ao quadrado e isso vezes a profundidade onde a profundidade é de x esse aqui seria o volume de cada uma das ruas e isso é que será definido em um intervalo num dado x onde para cada x nesse intervalo nós estamos definindo uma ruela poderia existir uma ruela aqui outra aqui e então obter íamos a soma de todas essas arruelas se a gente tomar o limite onde as profundidades de cada uma dessas arruelas são cada vez menores nós vamos ter um número infinito de carro elas infinitamente finas fazendo isso nós podemos calcular a integral dentro desse intervalo que essas duas funções fazem uma interceção e ao intervalo que nos importa não precisa ser necessariamente onde elas realizam a intercessão mas é o que nós vamos fazer aqui então vamos dizer que a gente vai calcular a integral e ando de x igual a até x igual a ab claro que o iuv poderia ser qualquer lugar mas ao intervalo a gente está colocando que em termos gerais tudo bem de a até b isso vai nos dar o volume desses sólido de revolução lembrando que essa parte é que é o volume de cada ruela então se a gente somar todas as arruelas e tomar o limite com delta x tendendo a zero nós vamos ter um número infinito dessas arruelas se a gente aplicar isso o exemplo do último vídeo nós vamos obter a mesma resposta lembra que no último vídeo falei que gd x é igual à x e fdx é igual a raiz quadrada de x vamos avaliar isso aqui novamente utilizando esse método então nosso volume aqui será integral quais vão ser os nossos pontos de interseção os pontos em que a função fazem uma interceção bem falando mais uma vez a gente pode definir o intervalo em qualquer outro lugar tudo bem como daqui até e outro qualquer ponto a qualquer ponto mas de acordo com a nossa visualização aqui ea o que nos importa nesse problema a gente quer tomar os limites entre x igual a zero e x igual a 1 que são os dois pontos onde essas duas funções fazem a intercessão nós já vimos isso no último vídeo inclusive isso aqui de pi visys bem a gente tem aqui que fdx é a raiz de che certo tomando isso daqui ao quadrado a gente vai ter x - gd xxx elevada ao quadrado x elevada ao quadrado e aí a gente multiplica isso por 2 x 1 a gente pode faturar isso daqui colocar o piauí agora pra fora da integral assim a gente vai ter pi visys ante derivada de x - x elevada ao quadrado ante derivada de x é igual à x elevada ao quadrado sobre dois ea anti derivada de x elevada ao quadrado é igual à x elevado ao cubo sobre três e nós vamos avaliar isso no intervalo de integração e de 0 a 1 bem a gente vai ter a equipe visitou tudo isso é calculado em 1 assim a gente vai ter um sobre dois - um terço - tudo isso avaliado em zero bem quando a gente calcula a s10 a gente vai ter isso aqui como zero então vai sobrar apenas um sobre dois - um terço agora quanto que é meio menos um terço bem é um sexto então a nossa resposta que vai ser pvis um cesto que epe sobre seis que é a mesma coisa que a gente encontrou no último vídeo isso é porque fizemos a mesma coisa no último vídeo mas com um conceito um pouco diferente aqui nesse vídeo nos generalizamos em termos de fdx cgd x que é o método que nós chamamos de método da uel que é a mesma coisa que utilizar o método do disco para a parte externa ea parte interna conforme a gente fez no último vídeo
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