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O método da arruela rotacionando em torno de uma reta vertical (não o eixo y), parte 2

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- Usando o - vamos chamar de método de lavagem ou método do anel, nós seremos capazes de propor a integral definida para o volume deste sólido de revolução. Isto é igual a volume. Então vamos agora calcular esta integral Para começar, podemos fatorar usando π Isto vai ser igual a π vezes a integral definida de 0 a 1 Vamos resolver, elevando ao quadrado, isto aqui em verde. Dois ao quadrado é igual a 4 e então nós vamos ter 2 vezes o produto destes dois termos. Dois vezes menos y ao quadrado vezes 2 é igual a menos 4 y ao quadrado. E menos y ao quadrado, elevado ao quadrado é igual mais y elevado à quarta potência E a partir dai, vamos subtrair esta coisa elevada ao quadrado Vamos subtrair isto aqui ao quadrado que Vamos subtrair isto aqui ao quadrado que vai ser 4 menos 4 raiz quadrada de y mais - OK, raiz quadrada de y ao quadrado é igual a y e tudo isto dy. Eu vou usar a mesma cor e isto vai ser igual a π vezes a integral de 0 a 1. Vamos ver se podemos simplificar isto. Temos um quatro aqui, mas quando você usa este negativo você tem menos 4 que cancela este. Vamos ver. O termo de maior grau é y elevado à quarta. Temos y elevado à quarta. Vou escrever na mesma cor. O segundo termo de maior grau é este menos 4 y ao quadrado Se você tem negativo -- deixe-me fazer com a mesma cor. Temos menos 4 y ao quadrado. Que é este aqui E então temos este y Tendo em mente que temos este negativo na frente. Este é um y negativo E este aqui é um y negativo. Como temos negativo vezes negativo teremos mais 4 raiz quadrada de y. No final, temos mais quatro raiz quadrada de y Para ficar ainda mais claro quando pegamos a anti-derivada, vou escrever como 4y elevado à 1/2. E vamos multiplicar tudo por dy. Agora vamos calcular a antiderivada. Será igual a π vezes a antiderivada de y elevado à quarta é igual a y elevado à quinta dividido por 5. Antiderivada de menos 4 y ao quadrado é menos 4/3 y elevado ao cubo. Antiderivada de menos y é menos y ao quadrado sobre 2 e então a antiderivada de 4 y elevado a 1/2 -- Vamos fazer um incremento, será y elevado a 3/2 multiplicado por 2/3. Teremos 8/3 mais 8/3 y elevado a 3/2. Vamos ver. Sim. Tudo funciona. Vamos calcular isto para 1 e para 0. Vamos calcular isto para 1 e para 0. Por sorte, quando calculamos para 0 tudo fica igual a 0. Assim, isto tudo fica igual a π vezes o resultado disso aqui para 1. E isto será 1/5 menos 4/3 -- Vou escrever em verde - menos 4/3 menos 1/2 - - sempre que se calcular aqui para 1, isto será -- mais 8/3. mais 8/3. E vamos ver. Qual é o mínimo múltiplo comum aqui? Vejamos, entre 5, 3 e 2 o denominador será 30. Podemos reescrever aqui como igual a π, e podemos colocar tudo sobre o denominador de 30. 1/5 é 6/30. 4/3 é 40 sobre 30, aqui, menos 40. Aqui um outro tom de verde Deixe-me usar um outro tom de verde. Aqui será menos 40/30 Menos 1/2, será menos 15/30 menos 15/30. E finalmente, 8/3 é o mesmo que 80/30, que é 80. E agora simplificando, vejamos Temos 86 menos 50 -- na realidade vou checar se eu estou fazendo o cálculo certo. Oitenta menos quarenta dá 40, mais 6 é 46, menos 15 é 31. Isto é igual a 31 π dividido por 30. Eu acho que fiz alguma coisa errada nesta última parte aqui. Isto vai ser, vejamos, menos 36, menos 51, mais 80 Agora eu acho que está certo. Vou fazer isto novamente. Vejamos 80 menos 40 é 40. 46, 46 menos 10 é 36, menos 5 é 31. Agora sim, temos 31 π dividido por 30 para o volume. Traduzido por Celeste de Britto Heemskerk
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