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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 8
Lição 12: Volume com método da anilha: revolucionando em torno de outros eixos- O método da arruela rotacionando em torno de uma reta horizontal (não o eixo x), parte 1
- O método da arruela rotacionando em torno de uma reta horizontal (não o eixo x), parte 2
- O método da arruela rotacionando em torno de uma reta vertical (não o eixo y), parte 1
- O método da arruela rotacionando em torno de uma reta vertical (não o eixo y), parte 2
- Método da anilha: revolução em torno de outros eixos
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O método da arruela rotacionando em torno de uma reta vertical (não o eixo y), parte 2
Resolução da integral estabelecida no último vídeo usando o método da anilha. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - E aí, pessoal!
Tudo bem? Utilizando o método do anel
ou método da anilha nós vamos ser capazes de calcular
o volume desse sólido de revolução. Então isso aqui é o volume, tudo
isso aqui foi feito no vídeo anterior. Podemos colocar π em evidência
e vamos ficar com π que multiplica a integral de zero a 1
disso aqui, que é um produto notável. Resolvendo, vamos ficar com 4 menos 4
que multiplica y² mais y⁴, ou seja, eu apliquei
o quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro vezes o segundo
mais o quadrado do segundo e subtraímos isso por essa parte
que, de novo, é um produto notável. Resolvendo, vamos ficar com 4
que multiplica -4 raiz de (y) mais y, já que isso aqui ao quadrado
vai dar y, e ainda tem dy aqui fora. Vamos ficar com π, que multiplica
a integral de zero a 1, e vamos ver se conseguimos
simplificar isso. Veja bem: se fizermos a distributiva,
vamos ficar com -4 e ele vai ser cancelado
com esse 4 aqui. Também tem um y⁴, que é o maior
termo que eu vou colocar aqui, tem esse -4y² que eu posso
colocar aqui também, temos esse y positivo que multiplicado
por esse -1 vai ficar negativo, então -y, e ainda tem esse -4 que
multiplica a raiz quadrada de y que multiplica esse -1,
ficando positivo, e vamos ficar com mais 4
que multiplica y elevado a ½, que é a mesma coisa
que a raiz quadrada de y. Claro, eu fiz isso aqui para
facilitar o cálculo da integral, e multiplicamos tudo isso por dy. Calculando essa integral,
nós vamos ficar com π que multiplica a integral de y⁴
que dá y⁵ dividido por 5 menos a integral de 4y²,
que vai ser 4/3 de y³ menos a integral de y
que vai ser y² sobre 2 mais a integral de 4
vezes y elevado a ½, que é 8/3 de y elevado a (3/2)
e avaliamos isso de zero até 1. Como podemos fazer isso? Simples. Substituindo esse 1 no lugar do y e
subtraindo pelo valor numérico de zero, mas se pegarmos o zero e substituirmos em
cada um desses termos, essa expressão vai zerar. Portanto, só precisamos
avaliar em 1, ou seja, vamos ficar com π que
multiplica tudo isso aqui avaliado em 1. Se fizermos isso e já resolvemos, vamos
ficar com 1/5 menos 4/3 menos 1/2 mais 8/3. Isso vai ser igual a π
que multiplica isso. Podemos resolver achando o MMC
desses denominadores, que dá 30, então dividimos isso por 30. 30 dividido por 5 dá 6, multiplicado
por 1 dá 6, então 6 aqui e 30 dividido por 3 dá 10,
vezes -4 vai dar -40, e 30 dividido por 2 dá 15,
vezes -1 vai dar -15, e 30 dividido por 3 dá 10,
vezes 8 vai dar 80. Assim vamos ficar com π que multiplica essa
soma dividido por 30, que vai dar 31 vezes π, ou seja, 31π sobre
30 unidades de volume. Espero que as aula tenha os
ajudado e até a próxima, pessoal!