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O método da arruela rotacionando em torno de uma reta horizontal (não o eixo x), parte 1

Método da anilha quando rotacionando em torno de uma linha horizontal que não seja o eixo x. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA2G - Neste problema, vamos girar uma figura em torno do eixo que não é nenhum dos eixos, nem o "y" nem o "x". É um eixo que está aqui, y = 4. A figura que vai ser formada é a figura desta região aqui, entre estas duas curvas. Ou seja, temos este raio externo desta figura e este raio interno da figura que está girando. Nessa rotação entre o raio externo e o raio interno, vai se formar uma casca oca aqui, desta forma. Vai se formar essa casca oca ao redor deste eixo 4, deste eixo de y = 4. Como a gente pode fazer isso? Como podemos calcular? Nós sabemos que a área da superfície vai ser igual a π vezes o raio externo ao quadrado, menos π vezes o raio interno ao quadrado. O raio externo vai ser igual a 4, menos esta curva, y = x² - 2x. Portanto, temos aqui o raio externo. E o raio interno vai ser 4 - x. Estes vão ser os dois raios. Então, nós temos a área da superfície como sendo π... Vamos colocar o π em evidência e ficamos com 4 - x² + 2x, isso tudo ao quadrado, menos o raio interno ao quadrado, ou seja, (4 - x)². Isso tudo vamos fazer a integral e dx. Agora, a integral de quanto a quanto? Vai ser deste ponto (0, 0) a este ponto de encontro, ou seja, quando x² - 2x for igual a "x". Estamos igualando esta expressão a esta, para saber estes dois pontos onde nós vamos integrar. Passando o "x" para o lado de cá, ficamos com x² - 3x = 0. Colocando "x" em evidência, temos x(x - 3) = 0. Portanto, ou "x" é igual a zero, que é o de se esperar, que era o primeiro termo, ou "x" é igual a 3. Portanto, vamos integrar de zero a 3. Esta expressão vai nos dar o volume, vai dar essa casca esférica que rodeia esta figura em torno do eixo 4. No próximo vídeo, nós vamos desenvolver e achar o valor do volume.