Se você está vendo esta mensagem, significa que estamos tendo problemas para carregar recursos externos em nosso website.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Conteúdo principal

O método da arruela rotacionando em torno de uma reta vertical (não o eixo y), parte 1

Estabelecendo a integral definida para o volume de um sólido de revolução ao redor de uma reta vertical usando o método da "anilha" ou do "anel". Versão original criada por Sal Khan.

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA7MP - Vamos supor que você queira criar um sólido a partir da área entre estas duas curvas. Você tem esta área entre estas duas curvas e vai rotacionar em cima de um eixo que está em "x" igual a 2. Ou seja, você vai rotacionar esta figura em "x" igual a 2. Ao rotacionar esta figura, você tem esta parte rotacionada por fora e você tem esta outra parte rotacionada por dentro. E, com isso, você vai fazer um sólido oco e esta área que está em amarelo vai sofrer uma pequena variação de "y". Aqui nós conseguimos fazer o sólido. Primeiro, vamos colocar "x" em função de "y". Esta função "y" igual a raiz de "x" fica sendo y² igual a "x", ou "x" igual a y². Esta outra função "y" igual a x² fica sendo √y, que é a raiz principal, já que esta parte é positiva, igual a "x", ou "x" igual a √y. A distância para este ponto "x" igual a 2, nós vamos ter duas distâncias, uma distância desta curva até o eixo que está em 2, e outra distância desta curva que está em "x" igual a 2. Esta distância vai ser dada como 2 menos "x", que vai ser o y². E esta distância vai ser dada como 2 menos √y. Para que peguemos esta área em "y", nós vamos pegar a área externa menos a área interna. Isto vai ser o Ay, vamos colocar Ay em azul. Temos aqui Ay vai ser, a área externa vai ser dada por π (Pi) vezes o raio externo ao quadrado, e a área interna vai ser dada por π vezes o raio interno ao quadrado. O raio externo é dado por 2 menos y². E o raio interno é dado por 2 menos √y. Para calcularmos o volume criado pela revolução em torno deste eixo que está em "x" igual a 2, nós vamos ter que integrar entre estes 2 valores, onde os dois coincidem aqui é zero, e este ponto onde eles coincidem também é quando y² igual a √y, ou y⁴ igual a "y", podemos passar o "y" para o lado de lá, vamos ficar com y⁴ menos "y" igual a zero, colocando "y" em evidência, temos y³ e "y" menos 1, ou seja, temos duas respostas, "y" igual a zero ou "y" igual a 1. Portanto, a integral vai ser de zero até 1 de π vezes o raio externo, que é (2 menos y²)², menos π vezes o raio interno, que é (2 menos √y)², isso tudo dy. No próximo vídeo, vamos desenvolver e achar o valor deste volume.