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Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 8
Lição 12: Volume com método da anilha: revolucionando em torno de outros eixos- O método da arruela rotacionando em torno de uma reta horizontal (não o eixo x), parte 1
- O método da arruela rotacionando em torno de uma reta horizontal (não o eixo x), parte 2
- O método da arruela rotacionando em torno de uma reta vertical (não o eixo y), parte 1
- O método da arruela rotacionando em torno de uma reta vertical (não o eixo y), parte 2
- Método da anilha: revolução em torno de outros eixos
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O método da arruela rotacionando em torno de uma reta vertical (não o eixo y), parte 1
Estabelecendo a integral definida para o volume de um sólido de revolução ao redor de uma reta vertical usando o método da "anilha" ou do "anel". Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA7MP - Vamos supor que você queira
criar um sólido a partir da área entre estas duas curvas. Você tem esta área entre estas duas curvas e vai rotacionar em cima de um eixo que está em "x" igual a 2. Ou seja, você vai rotacionar esta figura em "x" igual a 2. Ao rotacionar esta figura, você tem esta parte rotacionada por fora e você tem esta outra parte
rotacionada por dentro. E, com isso, você vai fazer um sólido oco e esta área que está em amarelo vai sofrer uma pequena variação de "y". Aqui nós conseguimos fazer o sólido. Primeiro, vamos colocar
"x" em função de "y". Esta função "y" igual a raiz de "x" fica sendo y² igual a "x", ou "x" igual a y². Esta outra função "y" igual a x² fica sendo √y, que é a raiz principal, já que esta parte é positiva,
igual a "x", ou "x" igual a √y. A distância para este ponto "x" igual a 2, nós vamos ter duas distâncias, uma distância desta curva até o eixo que está em 2, e outra distância desta curva que está em "x" igual a 2. Esta distância vai ser dada como 2 menos "x", que vai ser o y². E esta distância vai ser dada como 2 menos √y. Para que peguemos esta área em "y", nós vamos pegar a área externa menos a área interna. Isto vai ser o Ay,
vamos colocar Ay em azul. Temos aqui Ay vai ser, a área externa vai ser dada por π (Pi) vezes o raio externo ao quadrado, e a área interna vai ser dada por π vezes o raio interno ao quadrado. O raio externo é dado por 2 menos y². E o raio interno é dado por 2 menos √y. Para calcularmos o volume criado
pela revolução em torno deste eixo que está
em "x" igual a 2, nós vamos ter que integrar
entre estes 2 valores, onde os dois coincidem aqui é zero, e este ponto onde eles coincidem também é quando y² igual a √y, ou y⁴ igual a "y", podemos passar o "y"
para o lado de lá, vamos ficar com y⁴ menos "y" igual a zero, colocando "y" em evidência,
temos y³ e "y" menos 1, ou seja, temos duas respostas, "y" igual a zero ou "y" igual a 1. Portanto, a integral vai ser de zero até 1 de π vezes o raio externo, que é (2 menos y²)², menos π vezes o raio interno, que é (2 menos √y)², isso tudo dy. No próximo vídeo, vamos desenvolver e achar o valor deste volume.