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Cálculo Avançado AB

Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 8

Lição 2: Conectando as funções de posição, velocidade e aceleração usando integrais
Matemática
Cálculo Avançado AB
Aplicações da integração
Conectando as funções de posição, velocidade e aceleração usando integrais
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Problemas de movimento (com integrais definidas)

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Integrais definidas são muito usadas para resolver problemas de movimento, por exemplo para descobrir a posição de um objeto em movimento dadas informações sobre sua velocidade. Aprenda como isso é feito e sobre a diferença crucial entre velocidade escalar e velocidade vetorial.
Problemas que envolvem movimento são muito comuns em cálculo. Em cálculo diferencial, raciocinamos sobre a velocidade de um objeto em movimento, dada sua função de posição. Em cálculo integral, fazemos o contrário: dada a função de velocidade de um objeto em movimento, raciocinamos sobre sua posição ou sobre a variação em sua posição.

Raciocínio sobre velocidades escalar e vetorial e integrais definidas

Digamos que uma partícula se mova em linha reta, com velocidade de v, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 5, minus, t metros por segundo, na qual o tempo t é dado em segundos.
A função v está representada graficamente. O eixo horizontal é representado por t. t vai de 0 até 10. O gráfico é uma reta. A reta começa em (0, 5), cruza o eixo t em (5, 0) e termina no quarto quadrante.
Quando a velocidade é positiva, significa que a partícula está se movendo para frente ao longo da reta e, quando a velocidade é negativa, significa que a partícula está se movendo para trás.
Digamos que tenhamos que encontrar o deslocamento da partícula (ou seja, a variação em sua posição) entre t, equals, 0 segundo e t, equals, 10 segundos. Como a velocidade é a taxa de variação da posição da partícula, qualquer variação em sua posição será dada por uma integral definida.
Especificamente, o que queremos é integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 10, end superscript, v, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t.
O gráfico anterior da função v é mostrado. A área entre o gráfico e o eixo t está sombreada de t = 0 até t = 10. Isso consiste de duas áreas separadas, à esquerda e à direita de t = 5.
Curiosamente, o deslocamento é integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 10, end superscript, v, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, equals, 0 metro (você pode ver no gráfico que as duas áreas são iguais em tamanho e opostas em sinal).
Ter 0 de deslocamento significa dizer que a partícula estava na mesma posição nos tempos t, equals, 0 e t, equals, 10 segundos. Isso faz sentido quando se vê como a partícula primeiramente se move para frente e depois para trás, de maneira a retornar à sua posição inicial.
Um ponto representando uma partícula é plotado na extremidade esquerda de uma reta horizontal, em que t = 0 e v = 5. A partícula se move até um ponto máximo à direita, então volta para o início à esquerda. Conforme ela se move para a direita, t aumenta para 5 e v cai para 0. Conforme ela se move de volta para a esquerda, t aumenta para 10 e v cai para 5 negativo.
Esta é uma simulação do movimento da partícula, de t, equals, 0 segundo a t, equals, 10 segundos (criada com Geogebra).
No entanto, a partícula se moveu. Digamos que queiramos saber a distância total percorrida pela partícula, ainda que ela tenha terminado no mesmo lugar. As integrais definidas podem nos ajudar nisso?
Sim, podem. Para fazer isso, usaremos uma reorganização inteligente. Ao invés de olharmos a velocidade vetorial v da partícula, vamos olhar sua velocidade escalar vertical bar, v, vertical bar (ou seja, o módulo de v).
O gráfico anterior da função v é exibido. Uma segunda função, o valor absoluto de v está representada graficamente. O gráfico consiste em dois segmentos de reta. O primeiro se move para baixo de (0, 5) até (5, 0). O segundo para cima a partir de (5, 0) passando por (10, 5).
A velocidade escalar descreve o quão rápido nos deslocamos, enquanto a velocidade vetorial descreve o quão rápido e em que direção nos deslocamos. Quando o movimento é linear, a velocidade vetorial pode ser negativa, mas a velocidade escalar é sempre positiva (ou igual a zero). Portanto, a velocidade escalar é valor absoluto da velocidade vetorial.
Agora que sabemos a velocidade escalar da partícula em qualquer momento, podemos descobrir a distância total que ela percorreu, calculando a integral definida integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 10, end superscript, vertical bar, v, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, d, t.
O gráfico anterior do valor absoluto da função v é mostrado. A área entre o gráfico e o eixo t está sombreada de t = 0 até t = 10. Isso consiste de duas áreas distintas, à esquerda e à direita de t = 5.
Desta vez, o resultado é o valor 25 metros positivo.

Lembrete: velocidade vetorial versus velocidade escalar

Velocidade vetorial é a taxa de variação na posição, portanto sua integral definida nos dará o deslocamento do objeto em movimento.
A velocidade escalar é a taxa de variação na distância total, portanto sua integral definida nos dará a distância total percorrida, independentemente da posição.
Problema 1
Alex recebeu o seguinte problema:
Uma partícula se moveu em linha reta com velocidade vetorial de v, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, minus, t, squared, plus, 8 metros por segundo, em que t é o tempo em segundos. Em t, equals, 2, a distância entre a partícula e o ponto inicial era de 5 metros. Qual é a distância total percorrida pela partícula entre t, equals, 2 e t, equals, 6 segundos?
Qual expressão Alex deve usar para resolver o problema?
Escolha 1 resposta:

Problema 2
Madalena recebeu o seguinte problema:
Uma partícula se move em linha reta com velocidade de v, left parenthesis, t, right parenthesis metros por segundo (mostrado no gráfico), em que t é o tempo em segundos. No instante t, equals, 1, a distância da partícula ao ponto inicial era de 2 na direção positiva. Quando é o deslocamento da partícula entre t, equals, 1 e t, equals, 6 segundos?
Qual expressão Madalena deveria usar para resolver o problema?
Escolha 1 resposta:

Cálculo da posição real, usando integrais definidas e condições iniciais

Alguns problemas de movimento nos pedem para encontrar a posição real da partícula em determinado instante no tempo. Lembre-se de que uma integral definida pode nos dar apenas a variação na posição da partícula. Para encontrar a posição real da partícula, precisaremos usar as condições iniciais.
Problema 3
Diva recebeu o seguinte problema:
Uma partícula se moveu em linha reta com velocidade vetorial de v, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, square root of, 3, t, minus, 1, end square root metros por segundo, em que t é o tempo em segundos. Em t, equals, 2, a distância entre a partícula e o ponto inicial era de 8 metros no sentido positivo. Qual é a posição da partícula em t, equals, 7 segundos?
Qual expressão Diva deve usar para resolver o problema?
Escolha 1 resposta:

Quer praticar mais? Tente este exercício.

Resumo: três perguntas possíveis em problemas de movimento que envolvem integrais definidas

Problemas de movimento exigem integrais definidas quando temos a velocidade vetorial do objeto em movimento e devemos descobrir sua posição. A seguir, três tipos possíveis de problemas:
TipoPergunta comumExpressão apropriada
Deslocamento"Qual é o deslocamento da partícula entre... e..." ou "Qual é a variação na posição da partícula entre... e..."integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, v, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t
Distância total"Qual é a distância total percorrida pela partícula entre... e..."integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, \mid, v, left parenthesis, t, right parenthesis, \mid, d, t
Posição real"Qual é a posição da partícula em..."C, plus, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, v, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, em que C é a posição inicial

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  • Avatar blobby green style do usuário florvasques
    Publicado há há 3 anos. Link direto para a postagem “Suponha que duas partícul...” de florvasques
    Suponha que duas partículas, A e B, percorrem uma trajetória retilínea comum e que os seus movimentos também tiveram a mesma origem s = 0 m. As variações de espaços são definidas S=integral v(t)dt , acelerações são definidas a(t)=d/t v(t) as velocidades de cada partícula são descritas pelo gráfico apresentado. Nesse sentido, analise as afirmativas a seguir:
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